Что такое фигуры лиссажу

Фигуры Лиссажу — это траектории, которые описывает точка, одновременно совершающая два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти кривые были детально изучены французским физиком Жюлем Антуаном Лиссажу в середине XIX века, хотя ранее их исследовал американский математик Натаниель Боудич. Принцип формирования Форма фигуры полностью определяется тремя параметрами складываемых колебаний:

• Соотношение частот: Определяет общее количество петель и сложность узора. Если отношение частот является рациональным числом (например, 1:2 или 3:4), кривая будет замкнутой. При иррациональном отношении точка со временем заполнит всю область прямоугольника.
• Разность фаз: Влияет на «развернутость» фигуры. Например, при одинаковых частотах и нулевой разности фаз получится прямая линия, а при разности фаз в 90° — окружность или эллипс.
• Амплитуды: Определяют ширину и высоту прямоугольной области, в которую вписана фигура.

Математическое описание В декартовых координатах движение точки описывается системой параметрических уравнений:

• $x\left(t\right)=A\cdot \sin ({\omega }_{1}t+{\varphi }_1)$ $y\left(t\right)=B\cdot \sin ({\omega }_{2}t+{\varphi }_2)$
  Где $A$ и $B$ — амплитуды, ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ — циклические частоты, а ${\varphi }_1$ и ${\varphi }_2$ — начальные фазы.

Практическое применение Фигуры Лиссажу широко используются в науке и технике для анализа характеристик сигналов:

1. Определение частоты: Сравнивая неизвестный сигнал с эталонным на экране осциллографа, можно точно вычислить его частоту по количеству пересечений осей фигуры.
2. Измерение фазового сдвига: По форме эллипса (соотношению его осей) рассчитывается разность фаз между двумя сигналами.
3. Контроль качества: В аудиотехнике метод помогает проверять фазовую совместимость каналов.
4. Визуализация и оптика: Применяются для оценки микровибраций и в сканирующих системах лазерных проекторов.

Интересно отметить, что подобные узоры можно получить механически с помощью гармонографа — системы маятников с закрепленным пером. Хотите узнать, как именно рассчитать разность фаз по параметрам эллипса Лиссажу?