Доказать первое свойство параллельных прямых

В евклидовой геометрии первое свойство параллельных прямых (часто называемое признаком параллельности) формулируется так: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Для доказательства воспользуемся методом от противного. Формулировка задачи

• Дано: Прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$. Накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны ( $\angle 1=\angle 2$). Доказать: $a\parallel b$.

Доказательство

1. Предположение от противного:
   Допустим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Это означает, что они пересекаются в некоторой точке $M$. Точка $M$ может лежать либо с одной стороны от секущей $c$, либо с другой. Построение треугольника:
   Пусть прямые пересекаются в точке $M$. Обозначим точки пересечения секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ как $A$ и $B$ соответственно. В результате образуется треугольник $ABM$. Использование внешнего угла:
   В полученном треугольнике $ABM$ один из углов при секущей (например, $\angle 1$) будет являться внешним углом, а другой (например, $\angle 2$) — внутренним углом, не смежным с ним (или наоборот, в зависимости от расположения точки $M$). Противоречие с теоремой о внешнем угле:
   Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, должно выполняться неравенство:
   $\angle 1>\angle 2$(или $\angle 2>\angle 1$, если точка пересечения лежит с другой стороны). Сравнение с условием:
   Полученное неравенство $\angle 1>\angle 2$ прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что $\angle 1=\angle 2$. Вывод:
   Так как наше предположение о пересечении прямых привело к противоречию, оно ложно. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут иметь общих точек, а значит, они параллельны.

Следствия из первого свойства Из доказанного утверждения также вытекают два других признака параллельности:

• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Эти свойства доказываются через приведение их к первому случаю (равенству накрест лежащих углов) с помощью свойств вертикальных и смежных углов. Я могу подготовить для вас доказательства этих следствий или разобрать обратную теорему (свойства уже параллельных прямых). Что именно вас интересует?