A) tg^2x-2tgx=0 b) 2cos^2x+5sinx-4=0 c) sin2x \leq - \frac{ \sqrt{2} }{2}

Вот подробные решения для каждого из тригонометрических уравнений и неравенства. А) $t{g}^{2}x-2tgx=0$ Это уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.

1. Вынесем $tgx$ за скобки:
   $tgx(tgx-2)=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   • $tgx=0⟹x=\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $tgx-2=0⟹tgx=2⟹x=arctg\left(2\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=\pi n;x=arctg\left(2\right)+\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Б) $2{\cos }^{2}x+5\sin x-4=0$ Для решения приведем уравнение к одной функции, используя основное тригонометрическое тождество: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.

1. Подставим замену в уравнение:
   $2(1-{\sin }^{2}x)+5\sin x-4=0$
   $2-2{\sin }^{2}x+5\sin x-4=0$
   $-2{\sin }^{2}x+5\sin x-2=0$ Умножим на $-1$ для удобства:
   $2{\sin }^{2}x-5\sin x+2=0$ Введем замену $t=\sin x$, где $\left|t\right|\le 1$:
   $2t^2-5t+2=0$
   $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$
   $t_1=\frac{5+3}{4}=2$ (не подходит, так как $\left|t\right|\le 1$)
   $t_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$ Обратная замена:
   $\sin x=\frac{1}{2}$
   $x=\left(-1{)}^n\arcsin \right(\frac{1}{2})+\pi n$
   $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ В) $\sin 2x\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решим его относительно аргумента $2x$.

1. Найдем интервал на единичной окружности:
   Синус меньше или равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в нижней части круга, между точками $-\frac{3\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{4}$ (или $\frac{5\pi }{4}$ и $\frac{7\pi }{4}$ ). $-\frac{3\pi }{4}+2\pi n\le 2x\le -\frac{\pi }{4}+2\pi n$ Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
   $-\frac{3\pi }{8}+\pi n\le x\le -\frac{\pi }{8}+\pi n$

Ответ: $x\in [-\frac{3\pi }{8}+\pi n;-\frac{\pi }{8}+\pi n],n\in \mathbb{Z}$ Могу составить для вас аналогичный проверочный вариант или разобрать отбор корней на заданном промежутке для любого из этих уравнений.