Найдите матрицу обратную данной, с помощью алгебраических дополнений (1 5 4) (-1 0 6) (8 1 1)

Для нахождения обратной матрицы $A^{-1}$ воспользуемся формулой: $A^{-1}=\frac{1}{\det \left(A\right)}\cdot C^T$ где $\det \left(A\right)$ — определитель матрицы, а $C^T$ — транспонированная матрица алгебраических дополнений (союзная матрица). Пусть данная матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 5& 4\\ -1& 0& 6\\ 8& 1& 1\end{array}\right)$1. Вычисление определителя $\det \left(A\right)$ Воспользуемся правилом треугольника или разложением по строке: $\det \left(A\right)=1\cdot (0\cdot 1-6\cdot 1)-5\cdot (-1\cdot 1-6\cdot 8)+4\cdot (-1\cdot 1-0\cdot 8)$ $\det \left(A\right)=1(0-6)-5(-1-48)+4(-1-0)$ $\det \left(A\right)=-6-5\left(-49\right)-4=-6+245-4=235$Так как $\det \left(A\right)\ne 0$, обратная матрица существует. 2. Нахождение алгебраических дополнений $A_{ij}$ Алгебраическое дополнение вычисляется по формуле $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij}$, где $M_{ij}$ — минор.

• $A_{11}=+\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& 1\end{array}\right|=0-6=-6$ $A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}-1& 6\\ 8& 1\end{array}\right|=-(-1-48)=49$ $A_{13}=+\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 8& 1\end{array}\right|=-1-0=-1$ $A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 1& 1\end{array}\right|=-(5-4)=-1$ $A_{22}=+\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 8& 1\end{array}\right|=1-32=-31$ $A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 8& 1\end{array}\right|=-(1-40)=39$ $A_{31}=+\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 0& 6\end{array}\right|=30-0=30$ $A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 6\end{array}\right|=-(6-(-4\left)\right)=-10$ $A_{33}=+\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& 0\end{array}\right|=0-\left(-5\right)=\mathbf{5}$

3. Составление матрицы алгебраических дополнений $C$ и её транспонирование $C^T$ Матрица дополнений $C$: $C=\left(\begin{array}{ccc}-6& 49& -1\\ -1& -31& 39\\ 30& -10& 5\end{array}\right)$Транспонированная матрица (союзная) $C^T$: $C^T=\left(\begin{array}{ccc}-6& -1& 30\\ 49& -31& -10\\ -1& 39& 5\end{array}\right)$4. Итоговая обратная матрица $A^{-1}$ Разделим каждый элемент союзной матрицы на определитель (235): $A^{-1}=\frac{1}{235}\left(\begin{array}{ccc}-6& -1& 30\\ 49& -31& -10\\ -1& 39& 5\end{array}\right)$ В десятичном или дробном виде: $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{6}{235}& -\frac{1}{235}& \frac{30}{235}\\ \frac{49}{235}& -\frac{31}{235}& -\frac{10}{235}\\ -\frac{1}{235}& \frac{39}{235}& \frac{5}{235}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{6}{235}& -\frac{1}{235}& \frac{6}{47}\\ \frac{49}{235}& -\frac{31}{235}& -\frac{2}{47}\\ -\frac{1}{235}& \frac{39}{235}& \frac{1}{47}\end{array}\right)$ Я могу также выполнить проверку этого результата путем перемножения матриц $A\cdot A^{-1}$, чтобы убедиться в получении единичной матрицы. Хотите, чтобы я это сделал?