Докажите, что при любом x, отличном от нуля, значение дроби( 3x^2+4)/x^2+1 является дробным числом

Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{3x^2+4}{x^2+1}$ является дробным (не целым) числом при любом $x\ne 0$, проанализируем структуру этой дроби. 1. Преобразование выражения Выделим целую часть дроби, представив числитель через знаменатель: $\frac{3x^2+4}{x^2+1}=\frac{3(x^2+1)+1}{x^2+1}$ Разделим почленно: $\frac{3(x^2+1)}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}=3+\frac{1}{x^2+1}$ 2. Анализ полученного выражения Теперь выражение состоит из целого числа $3$ и добавки в виде дроби $\frac{1}{x^2+1}$ . Чтобы итоговое значение было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{1}{x^2+1}$ также была целым числом. Рассмотрим свойства знаменателя $x^2+1$:

• По условию $x\ne 0$. Следовательно, $x^2>0$. Отсюда следует, что $x^2+1>1$.

3. Оценка значения дроби Так как знаменатель $x^2+1$ строго больше единицы, то для дроби $\frac{1}{x^2+1}$ справедливо следующее неравенство: $0<\frac{1}{x^2+1}<1$ Любое число, находящееся строго между $0$ и $1$, не может быть целым. Оно является положительной правильной дробью. 4. Итоговый вывод Сумма целого числа ( $3$) и правильной дроби (числа от $0$ до $1$) всегда дает дробное число: $3<3+\frac{1}{x^2+1}<4$ Поскольку значение выражения всегда больше $3$, но меньше $4$ при любом $x\ne 0$, оно никогда не принимает целых значений. Что и требовалось доказать. Я могу также исследовать это выражение на экстремумы или построить график функции, если это поможет вам лучше визуализировать результат. Хотите, чтобы я это сделал?