Укажите при каких значениях x функция f x имеет производную и найдите эту производную a)f(x)= 1/(^3√x) б)f(x)= 1/(^3√x^2) в)f(x)= x^2√x

Производные функций и области их существования: а) $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$ при $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$; б) $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$ при $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$; в) $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{2}x\sqrt{x}$ при $x\ge 0$. Шаг 1: Нахождение производной функции $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ Представим функцию в виде степенной функции: $f\left(x\right)=x^{-1/3}$. Данная функция определена при всех $x\ne 0$. Используем формулу производной степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^{-1/3-1}=-\frac{1}{3}{x}^{-4/3}=-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$ Производная существует во всей области определения функции, так как при $x\ne 0$ выражение в знаменателе не обращается в нуль. Область дифференцируемости: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$. Шаг 2: Нахождение производной функции $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ Запишем функцию как $f\left(x\right)=x^{-2/3}$. Область определения: $x\ne 0$. Применяем правило дифференцирования: $f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{2}{3}{x}^{-2/3-1}=-\frac{2}{3}{x}^{-5/3}=-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$ Аналогично предыдущему случаю, производная определена везде, где определена сама функция. Область дифференцируемости: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$. Шаг 3: Нахождение производной функции $f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}$ Преобразуем выражение, используя свойства степеней: $f\left(x\right)=x^2\cdot x^{1/2}=x^{2+1/2}=x^{5/2}$. Функция определена при $x\ge 0$. Находим производную: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{2}{x}^{5/2-1}=\frac{5}{2}{x}^{3/2}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}$ Проверим существование производной в точке $x=0$ через предел приращения: $\underset{\Delta x{0}^{+}}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^{2.5}}{\Delta x}=\underset{\Delta x{0}^{+}}{\lim }(\Delta x{)}^{1.5}=0$ . Следовательно, производная в нуле существует и равна $0$. Область дифференцируемости: $x\ge 0$. Ответ: а) $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}\sqrt[\mathbf{3}]{{\mathbf{x}}^{\mathbf{4}}}}$ при $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ б) $f^{\prime }\left(x\right)=\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}\sqrt[\mathbf{3}]{{\mathbf{x}}^{\mathbf{5}}}}$ при $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ в) $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}$ при $x\ge 0$ Требуется ли вам разбор сложных функций, содержащих данные выражения в качестве аргументов?