Log2_24/log96_2-log2_192/log12_2

Для решения выражения $\frac{{\log }_{2}24}{{\log }_{96}2}-\frac{{\log }_{2}192}{{\log }_{12}2}$ воспользуемся свойствами логарифмов и приведем все к основанию 2. 1. Преобразование дробей Используя свойство перехода к новому основанию $\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a$ , преобразуем знаменатели обеих дробей:

• $\frac{1}{{\log }_{96}2}={\log }_{2}96$ $\frac{1}{{\log }_{12}2}={\log }_{2}12$

Теперь исходное выражение принимает вид: $\left({\log }_{2}24\right)\cdot \left({\log }_{2}96\right)-\left({\log }_{2}192\right)\cdot \left({\log }_{2}12\right)$ 2. Разложение аргументов логарифмов Представим числа 24, 96, 192 и 12 через степени двойки и множитель 3:

• $24=8\cdot 3=2^3\cdot 3$ $96=32\cdot 3=2^5\cdot 3$ $192=64\cdot 3=2^6\cdot 3$ $12=4\cdot 3=2^2\cdot 3$

Применим свойство ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$:

• ${\log }_{2}24={\log }_2{2}^3+{\log }_{2}3=3+{\log }_{2}3$ ${\log }_{2}96={\log }_2{2}^5+{\log }_{2}3=5+{\log }_{2}3$ ${\log }_{2}192={\log }_2{2}^6+{\log }_{2}3=6+{\log }_{2}3$ ${\log }_{2}12={\log }_2{2}^2+{\log }_{2}3=2+{\log }_{2}3$

3. Подстановка и упрощение Пусть $x={\log }_{2}3$. Подставим полученные значения в выражение: $(3+x)(5+x)-(6+x)(2+x)$ Раскроем скобки:

1. $(3+x)(5+x)=15+3x+5x+x^2=15+8x+x^2$ $(6+x)(2+x)=12+6x+2x+x^2=12+8x+x^2$

Вычтем второе выражение из первого: $(15+8x+x^2)-(12+8x+x^2)=15+8x+x^2-12-8x-x^2$ Сократим одинаковые слагаемые ( $8x$ и $x^2$): $15-12=3$ Ответ: 3. Дополнительные примеры подобных задач можно найти в пособиях для поступающих в вузы или на образовательных порталах вроде Znanija.com. Нужно ли вам пошаговое объяснение свойств логарифмов, использованных в решении?