Докажите теорему: в равнобедренном треугольнике биссектриса, приведённая к основанию, является медианой и высотой.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся признаками равенства треугольников и определениями основных элементов треугольника. Дано:

• $△ABC$ — равнобедренный ( $AB=BC$). $BD$ — биссектриса угла $\angle B$ (угол $\angle ABD=\angle CBD$). Точка $D$ лежит на стороне $AC$.

Доказать:

1. $BD$ — медиана ( $AD=DC$). $BD$ — высота ( $BD⟂AC$).

Доказательство: Шаг 1: Равенство треугольников Рассмотрим треугольники $△ABD$ и $△CBD$.

• Сторона $AB=BC$ по условию (треугольник равнобедренный). Углы $\angle ABD=\angle CBD$, так как $BD$ — биссектриса по условию. Сторона $BD$ — общая для обоих треугольников.

Следовательно, $△ABD=△CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Шаг 2: Доказательство медианы Из равенства треугольников $△ABD$ и $△CBD$ следует равенство всех их соответствующих элементов.

• Значит, сторона $AD=DC$.
• Так как отрезок $BD$ делит сторону $AC$ на два равных отрезка, по определению $BD$ является медианой.

Шаг 3: Доказательство высоты Из того же равенства треугольников следует, что углы $\angle ADB=\angle CDB$.

• Эти углы являются смежными, так как они лежат на одной прямой $AC$. Сумма смежных углов равна ${180}^{\circ }$. Так как они равны между собой, то каждый из них равен:
  $\angle ADB=\angle CDB=\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$ Так как угол между $BD$ и $AC$ прямой, по определению $BD$ является высотой.

Вывод: Мы доказали, что биссектриса $BD$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит это основание пополам (медиана) и перпендикулярна ему (высота). Что и требовалось доказать. Могу составить для вас аналогичное доказательство для других свойств равнобедренного треугольника, например, о равенстве углов при основании.