Докажите,что при любом натуральном значении n выполняется равенство: 5+6+7+...+(n+4)=

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии. 1. Анализ последовательности Левая часть представляет собой сумму последовательных целых чисел: $5+6+7+\dots +(n+4)$

• Первый член ( $a_1$): $5$ Последний член ( $a_n$): $n+4$ Разность ( $d$): $1$

Определим количество слагаемых. Чтобы найти количество членов от $5$ до $n+4$, вычтем из последнего значения число, предшествующее первому ( $4$): $(n+4)-4=n$Таким образом, в выражении ровно $n$ слагаемых. 2. Вывод формулы Общая формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ Подставим наши значения: $S_n=\frac{5+(n+4)}{2}\cdot n$ Упростим выражение в числителе: $S_n=\frac{n+9}{2}\cdot n=\frac{n(n+9)}{2}$ Развернутый вид формулы: $S_n=\frac{n^2+9n}{2}$ 3. Доказательство методом математической индукции Чтобы убедиться в истинности равенства для любого натурального $n$, проверим его шаги: Шаг 1: База индукции При $n=1$:

• Левая часть: $1+4=5$ Правая часть: $\frac{1(1+9)}{2}=\frac{10}{2}=5$
  Равенство верно ( $5=5$).

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для $n=k$ равенство выполняется: $5+6+\dots +(k+4)=\frac{k(k+9)}{2}$ Шаг 3: Шаг индукции Докажем, что равенство верно для $n=k+1$: $5+6+\dots +(k+4)+(k+5)=\frac{(k+1)\left(\right(k+1)+9)}{2}=\frac{(k+1)(k+10)}{2}$ Используя наше предположение, заменим сумму первых $k$ членов: $\frac{k(k+9)}{2}+(k+5)$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{k^2+9k+2(k+5)}{2}=\frac{k^2+9k+2k+10}{2}=\frac{k^2+11k+10}{2}$ Разложим числитель на множители: $k^2+11k+10=(k+1)(k+10)$Получаем: $\frac{(k+1)(k+10)}{2}$ Что и требовалось доказать. Итоговая формула: $5+6+7+\dots +(n+4)=\frac{n(n+9)}{2}$ Я могу составить аналогичное доказательство для других числовых последовательностей или геометрических прогрессий, если вам это потребуется.