Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен 30° . найдите объём пирамиды, если площадь боковой поверхности пирамиды равна 324см?.

Объем правильной треугольной пирамиды равен 162\sqrt{6} ${\text{см}}^3$. Шаг 1: Нахождение площади основания В правильной пирамиде площадь основания $S_{осн}$ связана с площадью боковой поверхности $S_{бок}$ и двугранным углом при основании $\alpha$ формулой $S_{осн}=S_{бок}\cdot \cos \alpha$. Подставим известные значения: $S_{осн}=324\cdot \cos {30}^{\circ }=324\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=162\sqrt{3}{\text{см}}^2$ Шаг 2: Нахождение стороны основания и радиуса вписанной окружности Основанием является правильный треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле $S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Найдем $a$: $162\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}⟹a^2=648⟹a=\sqrt{648}=18\sqrt{2}\text{см}$ Радиус окружности, вписанной в основание ( $r$), необходим для нахождения высоты: $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{6}\text{см}$ Шаг 3: Вычисление высоты пирамиды Высота пирамиды $H$, радиус $r$ и апофема образуют прямоугольный треугольник, где угол между $r$ и апофемой равен ${30}^{\circ }$. Тогда: $H=r\cdot \tan {30}^{\circ }=3\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=3\sqrt{2}\text{см}$ Шаг 4: Вычисление объема Используем стандартную формулу объема пирамиды $V=\frac{1}{3}{S}_{осн}\cdot H$ : $V=\frac{1}{3}\cdot 162\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}=162\sqrt{6}{\text{см}}^3$ Ответ: Объем пирамиды составляет 162\sqrt{6} ${\text{см}}^3$. Укажите, требуется ли приблизительное значение объема в десятичном виде или помощь с другими параметрами этой пирамиды.