Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, 002, …, 998, 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, 02, …, 98, 99. билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика получается зачёркиванием одной цифры в записи номера билета. какое наибольшее количество билетов может оказаться в одном ящике после некоторого раскладывания всех билетов по указанному правилу?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать связь между трехзначными номерами билетов и двузначными номерами ящиков, а также понять принцип распределения билетов. Математическая модель условия Пусть номер билета представлен как последовательность цифр $abc$, где $a,b,c\in \{0,1,\dots ,9\}$. Согласно условию, билет можно положить в ящик $xy$, если число $xy$ получается удалением одной из цифр билета $abc$. Таким образом, билет $abc$ может быть распределен в один из трех (или менее, если цифры повторяются) ящиков:

1. Ящик $bc$ (удалена первая цифра $a$) Ящик $ac$ (удалена вторая цифра $b$) Ящик $ab$ (удалена третья цифра $c$)

Всего имеется 1000 билетов и 100 ящиков. Нам нужно распределить все билеты так, чтобы максимизировать количество билетов в конкретном выбранном ящике $N$. Анализ распределения Рассмотрим произвольный ящик с номером $xy$. Какие билеты в принципе могут в него попасть? Это билеты вида:

• $kxy$ (где $k$ — любая цифра от 0 до 9) — 10 вариантов. $xky$ (где $k$ — любая цифра от 0 до 9) — 10 вариантов. $xyk$ (где $k$ — любая цифра от 0 до 9) — 10 вариантов.

Итого существует максимум 30 билетов, которые потенциально могут быть положены в ящик $xy$. Однако некоторые билеты в этом списке повторяются. Например, если мы ищем билеты для ящика 00, то билеты $000$ учитываются во всех трех категориях. Ограничение: каждый билет кладется только в один ящик Основная сложность задачи заключается в том, что мы должны распределить все 1000 билетов. Если мы попытаемся положить все 30 возможных билетов в ящик 00, нам нужно убедиться, что это не создаст ситуации, при которой какой-то другой билет нельзя будет положить ни в какой другой ящик. Однако условие "какое наибольшее количество билетов может оказаться в одном ящике после некоторого раскладывания всех билетов" подразумевает, что нам достаточно найти такое распределение, при котором все билеты находят свое место, а выбранный ящик максимально заполнен. Так как каждый из 1000 билетов имеет хотя бы один (а чаще три) варианта ящиков, мы всегда сможем распределить оставшиеся билеты по другим 99 ящикам. Ограничений на вместимость остальных ящиков нет. Подсчет для конкретного ящика Возьмем для примера ящик 00. В него могут попасть билеты:

1. Тип $k00$: 000, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 (10 штук).
2. Тип $0k0$: 000, 010, 020, 030, 040, 050, 060, 070, 080, 090 (10 штук).
3. Тип $00k$: 000, 001, 002, 003, 004, 005, 006, 007, 008, 009 (10 штук).

Чтобы найти общее количество уникальных билетов, воспользуемся формулой включений-исключений или простым пересчетом:

• Уникальных билетов вида $k00$ (где $k\ne 0$): 9. Уникальных билетов вида $0k0$ (где $k\ne 0$): 9. Уникальных билетов вида $00k$ (где $k\ne 0$): 9. Билет $000$: 1.

Итого: $9+9+9+1=28$. Если номер ящика состоит из разных цифр (например, ящик 12), расчет будет аналогичным:

1. Билеты $k12$: 10 штук. Билеты $1k2$: 10 штук. Билеты $12k$: 10 штук.

• Повторяющиеся билеты: $112$ (встречается в 1 и 2 группе) и $122$ (встречается в 2 и 3 группе). Общее количество: $10+10+10-2=28$.

Вывод В любой выбранный ящик можно положить не более 28 билетов. Поскольку оставшиеся 972 билета всегда можно распределить по оставшимся 99 ящикам (так как у каждого билета есть альтернативные варианты), это число является достижимым максимумом. Ответ: 28 Хотите ли вы, чтобы я составил таблицу распределения билетов для нескольких конкретных ящиков, чтобы увидеть, как они пересекаются?