4cos^4*x-4cos^2*x+1=0

Для решения уравнения $4{\cos }^{4}x-4{\cos }^{2}x+1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Заметим, что уравнение является биквадратным относительно $\cos x$. Пусть: $t={\cos }^{2}x$С учетом области значений функции косинуса, на переменную $t$ накладывается ограничение: $0\le t\le 1$. После замены уравнение принимает вид: $4t^2-4t+1=0$2. Решение квадратного уравнения Данное выражение представляет собой полный квадрат двучлена, так как оно соответствует формуле $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=2t$, а $b=1$. $(2t-1{)}^2=0$Отсюда следует: $2t-1=0$ $2t=1$ $t=\frac{1}{2}$ Полученное значение $t=0.5$ удовлетворяет условию $0\le t\le 1$. 3. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$: ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$ Для решения этого уравнения можно пойти двумя путями: извлечь корень или использовать формулу понижения степени. Воспользуемся формулой понижения степени ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ , так как это упрощает поиск корней: $\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}$ $1+\cos 2x=1$ $\cos 2x=0$4. Нахождение общего решения Решаем простейшее тригонометрическое уравнение для $2x$: $2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Я могу также отобрать корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке, если это необходимо.