Иррациональное уравнение √х+1=х-5

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{x+1}=x-5$ необходимо избавиться от знака корня путём возведения обеих частей в квадрат, учитывая область допустимых значений и условия равносильности. 1. Определение условий (ОДЗ) Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Кроме того, поскольку корень всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть больше или равна нулю:

1. $x+1\ge 0⟹x\ge -1$ $x-5\ge 0⟹x\ge 5$

Общее условие для поиска корней: $x\ge 5$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+1}{)}^2=(x-5{)}^2$ $x+1=x^2-10x+25$3. Решение квадратного уравнения Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-10x-x+25-1=0$ $x^2-11x+24=0$Найдем дискриминант $D$: $D=b^2-4ac=(-11{)}^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25$ $\sqrt{D}=5$ Вычислим корни: $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{11+5}{2}=\frac{16}{2}=8$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{11-5}{2}=\frac{6}{2}=3$ 4. Проверка корней по условию Сравним полученные значения с установленным ранее условием ( $x\ge 5$):

• $x_1=8$: $8\ge 5$ (Подходит) $x_2=3$: $3<5$ (Не подходит, является посторонним корнем)

Пояснение: Если подставить $x=3$ в исходное уравнение, получится $\sqrt{4}=3-5$ , что ведет к неверному равенству $2=-2$.

Ответ: $x=8$ Я могу составить для вас аналогичную подборку уравнений для закрепления темы или разобрать метод решения через замену переменной. Желаете продолжить?