Исследовать функцию y=2x-1/x*x

Для исследования функции $y=\frac{2x-1}{x^2}$ (исходя из стандартной записи $y=(2x-1)/x^2$) воспользуемся классическим алгоритмом анализа. 1. Область определения и непрерывность Функция не определена в точке, где знаменатель обращается в нуль:

• $x^2\ne 0x\ne 0$ Область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.

2. Точки пересечения с осями координат

• С осью $OY$: График не пересекает ось $OY$, так как $x\ne 0$. С осью $OX$: $y=02x-1=0x=0,5$.

  Точка пересечения: (0,5; 0).

3. Четность и периодичность

• Проверим $y(-x)=\frac{2(-x)-1}{(-x{)}^2}=\frac{-2x-1}{x^2}$ . $y(-x)\ne y\left(x\right)$ и $y(-x)\ne -y\left(x\right)$. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида). Непериодическая.

4. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: $\underset{x0}{\lim }\frac{2x-1}{x^2}=\left[\frac{-1}{\mathrm{+0}}\right]=-\infty$ .
  Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Горизонтальная асимптота: $\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{2x-1}{x^2}=0$ .
  Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

5. Монотонность и экстремумы Найдем первую производную: $y^{\prime }={\left(\frac{2x-1}{x^2}\right)}^{\prime }=\frac{2\cdot x^2-(2x-1)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2x^2-4x^2+2x}{x^4}=\frac{2x-2x^2}{x^4}=\frac{2(1-x)}{x^3}$ Критическая точка: $y^{\prime }=01-x=0x=1$. Определим знаки производной на интервалах:

• $(-\infty ,0):y^{\prime }<0$ — функция убывает. $(0,1):y^{\prime }>0$ — функция возрастает. $(1,+\infty ):y^{\prime }<0$ — функция убывает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с $+$ на $-$.

• Точка максимума: $x=1$. Значение максимума: $y\left(1\right)=\frac{2\left(1\right)-1}{1^2}=1$ .

6. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }={\left(\frac{2x-2x^2}{x^4}\right)}^{\prime }=\frac{(2-4x)x^4-(2x-2x^2)4x^3}{x^8}=\frac{2x-4x^2-8x+8x^2}{x^5}=\frac{4x^2-6x}{x^5}=\frac{2(2x-3)}{x^4}$ $y^{\prime \prime }=02x-3=0x=1,5$. Определим знаки $y^{\prime \prime }$:

• $(-\infty ,0):y^{\prime \prime }<0$ — график выпуклый вверх. $(0,1,5):y^{\prime \prime }<0$ — график выпуклый вверх. $(1,5,+\infty ):y^{\prime \prime }>0$ — график выпуклый вниз.

В точке $x=1,5$ происходит смена знака второй производной.

• Точка перегиба: $x=1,5$. Координаты перегиба: $y(1,5)=\frac{2(1,5)-1}{1,5^2}=\frac{2}{2,25}=\frac{8}{9}\approx 0,89$ .

Сводная таблица характерных точек

Я могу составить таблицу значений функции для построения графика по точкам. Желаете продолжить?