Исследовать функцию,график.y=(4x^2+1) / x

Для исследования функции $y=\frac{4x^2+1}{x}$ воспользуемся стандартным алгоритмом анализа. 1. Область определения и точки разрыва Функция определена для всех $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.

• Область определения: $D\left(f\right)=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. Точки разрыва: $x=0$ — точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

2. Четность и нечетность Проверим условие $f(-x)$: $f(-x)=\frac{4(-x{)}^2+1}{-x}=\frac{4x^2+1}{-x}=-\frac{4x^2+1}{x}=-f\left(x\right)$ Функция нечетная. График симметричен относительно начала координат $(0,0)$. 3. Пересечение с осями координат

• Ось $Oy$: Пересечений нет, так как $x\ne 0$. Ось $Ox$: Уравнение $4x^2+1=0$ не имеет действительных корней. Пересечений с осью абсцисс нет.

4. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$, так как $\underset{x0}{\lim }\frac{4x^2+1}{x}=\infty$ . Наклонная асимптота: Ищем в виде $y=kx+b$.
  $k=\underset{x\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\infty }{\lim }\frac{4x^2+1}{x^2}=4$ $b=\underset{x\infty }{\lim }\left(f\right(x)-kx)=\underset{x\infty }{\lim }(\frac{4x^2+1}{x}-4x)=\underset{x\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ Уравнение наклонной асимптоты: $y=4x$.

5. Экстремумы и интервалы монотонности Найдем производную функции: $y^{\prime }={(4x+\frac{1}{x})}^{\prime }=4-\frac{1}{x^2}=\frac{4x^2-1}{x^2}$ Приравняем производную к нулю: $4x^2-1=0⟹x^2=1/4⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}0.5\mathbf{,}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}-0.5$

• Точка максимума: $x=-0.5,y\left(-0.5\right)=-4$. Точка минимума: $x=0.5,y\left(0.5\right)=4$.

6. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }={(4-\frac{1}{x^2})}^{\prime }=\frac{2}{x^3}$

• При $x<0$: $y^{\prime \prime }<0$ (функция выпукла вверх). При $x>0$: $y^{\prime \prime }>0$ (функция выпукла вниз). Точек перегиба нет, так как $y^{\prime \prime }\ne 0$ на всей области определения.

7. Сводная таблица для построения

Краткое описание графика: График представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первом и третьем квадрантах. Он зажат между вертикальной осью $x=0$ и наклонной прямой $y=4x$. Могу построить таблицу значений функции с более мелким шагом или помочь с исследованием другой функции.