Найдите производную функци: а) y=x^2 e^x по правилу дифференцирования б)y=ln x^4

Вот подробное решение для нахождения производных указанных функций. а) Производная функции $y=x^2{e}^x$ Для решения используется правило дифференцирования произведения: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$В данном случае:

• $u=x^2⟹u^{\prime }=2x$ $v=e^x⟹v^{\prime }=e^x$

Пошаговое вычисление:

1. Применяем формулу:
   $y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\cdot e^x+x^2\cdot (e^x{)}^{\prime }$ Подставляем производные элементарных функций:
   $y^{\prime }=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$ Для упрощения выносим общий множитель $x{e}^x$ за скобки:
   $y^{\prime }=x{e}^x(2+x)$

б) Производная функции $y=\ln x^4$ Эту задачу можно решить двумя способами: через правило сложной функции или через свойство логарифма. Способ 1: Свойства логарифма (самый простой) По свойству логарифма $\ln a^n=n\ln a$. Перепишем функцию: $y=4\ln x$Теперь дифференцируем: $y^{\prime }=4\cdot (\ln x{)}^{\prime }=4\cdot \frac{1}{x}=\frac{4}{x}$ Способ 2: Правило сложной функции Формула: $\left(\ln \right(u){)}^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ Здесь $u=x^4$, следовательно $u^{\prime }=4x^3$. Пошаговое вычисление:

1. Находим производную внешней функции (логарифма) и умножаем на производную внутренней функции:
   $y^{\prime }=\frac{1}{x^4}\cdot (x^4{)}^{\prime }$ Вычисляем производную внутренней функции:
   $y^{\prime }=\frac{1}{x^4}\cdot 4x^3$ Сокращаем степени:
   $y^{\prime }=\frac{4x^3}{x^4}=\frac{4}{x}$

Результаты:

• а) $y^{\prime }=x{e}^x(2+x)$ б) $y^{\prime }=\frac{4}{x}$

Я могу также составить для вас таблицу производных основных функций или разобрать примеры с тригонометрическими функциями. Хотите продолжить?