Исследуйте функцию и постройте ее график y=3x^2-4x+5

Для исследования квадратичной функции $y=3x^2-4x+5$ воспользуемся стандартным алгоритмом анализа многочлена второй степени. 1. Область определения и область значений

• Область определения ( $D\left(y\right)$): Поскольку это многочлен, функция определена для всех действительных чисел: $x\in (-\infty ;+\infty )$. Область значений ( $E\left(y\right)$): Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх ( $a=3>0$). Минимальное значение достигается в вершине.

2. Координаты вершины параболы Координаты вершины $(x_v;y_v)$ вычисляются по формулам:

• $x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0.67$ $y_v=y\left(\frac{2}{3}\right)=3(\frac{2}{3}{)}^2-4(\frac{2}{3})+5=3(\frac{4}{9})-\frac{8}{3}+5=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+5=-\frac{4}{3}+5=\frac{11}{3}\approx 3.67$

Вершина: $(\frac{2}{3};\frac{11}{3})$ . Следовательно, $E\left(y\right)=[\frac{11}{3};+\infty )$ . 3. Точки пересечения с осями координат

• Ось $Oy$ (при $x=0$):
  $y=3(0{)}^2-4(0)+5=5$.
  Точка: (0; 5). Ось $Ox$ (при $y=0$):
  $3x^2-4x+5=0$
  Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 5=16-60=-44$.
  Так как $D<0$, уравнение не имеет действительных корней. График не пересекает ось абсцисс.

4. Монотонность и экстремумы

• Функция убывает на промежутке $(-\infty ;\frac{2}{3}]$ . Функция возрастает на промежутке $[\frac{2}{3};+\infty )$ . Точка $(\frac{2}{3};\frac{11}{3})$ является минимумом функции.

5. Дополнительные точки для построения Для более точного чертежа рассчитаем значения функции в нескольких точках:

Описание графика

1. Форма: Парабола.
2. Направление ветвей: Вверх.
3. Ось симметрии: Прямая $x=\frac{2}{3}$ . Расположение: Весь график находится выше оси $Ox$, так как вершина лежит в первой четверти, а ветви уходят вверх.

Как построить график вручную:

1. Отметьте вершину $(\approx 0.7;\approx 3.7)$. Проведите пунктирную вертикальную линию симметрии через $x=0.67$. Отметьте точку пересечения с $Oy$ (0; 5) и симметричную ей точку $(\approx 1.33;5)$. Нанесите дополнительные точки (1; 4) и (2; 9). Соедините точки плавной кривой.

Хотите, чтобы я составил таблицу значений для более широкого диапазона $x$ или рассчитал значения производной в конкретных точках?