Исследуйте функцию y=x/x^2-1

Для исследования функции $y=\frac{x}{x^2-1}$ воспользуемся стандартным алгоритмом полного анализа. 1. Область определения функции Функция определена везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: $x^2-1\ne 0⟹(x-1)(x+1)\ne 0⟹x\ne \pm 1$ $D\left(y\right):x\in (-\infty ;-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\infty )$ 2. Четность и симметрия Проверим условие $f(-x)$: $f(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2-1}=\frac{-x}{x^2-1}=-f\left(x\right)$ Функция является нечетной. Её график симметричен относительно начала координат $(0,0)$. 3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$ (при $x=0$): $y=\frac{0}{0^2-1}=0$ . Точка $(0,0)$. С осью $Ox$ (при $y=0$): Числитель равен нулю при $x=0$. Точка $(0,0)$.

4. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты: Точки разрыва $x=-1$ и $x=1$.
  • $\underset{x{1}^{+}}{\lim }\frac{x}{x^2-1}=+\infty$ $\underset{x{1}^{-}}{\lim }\frac{x}{x^2-1}=-\infty$
  Горизонтальные асимптоты:
  $\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2-1}=\underset{x\pm \infty }{\lim }\frac{1/x}{1-1/x^2}=0$ Следовательно, прямая $y=0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота.

5. Монотонность и экстремумы Найдем производную функции: $y^{\prime }=\frac{\left(x{)}^{\prime }\right(x^2-1)-x(x^2-1{)}^{\prime }}{(x^2-1{)}^2}=\frac{1(x^2-1)-x\left(2x\right)}{(x^2-1{)}^2}=\frac{-x^2-1}{(x^2-1{)}^2}$ $y^{\prime }=-\frac{x^2+1}{(x^2-1{)}^2}$ Анализ производной:

• Числитель $x^2+1>0$ при любых $x$. Знаменатель $(x^2-1{)}^2>0$ во всей области определения. Следовательно, $y^{\prime }<0$ на всей области определения.

Вывод: Функция убывает на интервалах $(-\infty ;-1)$, $(-1;1)$ и $(1;+\infty )$. Экстремумов нет. 6. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }={\left(\frac{-x^2-1}{(x^2-1{)}^2}\right)}^{\prime }=\frac{-2x(x^2-1{)}^2-(-x^2-1)\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1{)}^4}$ После упрощения: $y^{\prime \prime }=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1{)}^3}$ Определим знаки $y^{\prime \prime }$:

• $y^{\prime \prime }=0$ при $x=0$. На интервалах $(-\infty ;-1)$ и $(0;1)$: $y^{\prime \prime }<0$ (функция выпукла вверх). На интервалах $(-1;0)$ и $(1;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ (функция выпукла вниз).

Точка перегиба: $(0,0)$. Сводная таблица интервалов

Я могу составить таблицу значений для построения графика по точкам или провести аналогичное исследование для другой функции. Хотите продолжить?