Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию: а) f(x) = (x-1)^2(x+2) б) f(x) = 4 корня из x - x

Для функции $f\left(x\right)=(x-1{)}^2(x+2)$ критические точки $x=-1$ (максимум) и $x=1$ (минимум); функция возрастает на $(-\infty ,-1]$ и $[1,+\infty )$. Для $f\left(x\right)=4\sqrt{x}-x$ критическая точка $x=4$ (максимум); функция возрастает на $[0,4]$ и убывает на $[4,+\infty )$. ️ Шаг 1: Анализ функции f(x) = (x-1)^2(x+2)

1. Производная: Раскроем скобки или используем правило произведения: $f\left(x\right)=(x^2-2x+1)(x+2)=x^3-3x+2$. Тогда $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Критические точки: $f^{\prime }\left(x\right)=0$ при $x=1$ и $x=-1$. Монотонность:
   • На $(-\infty ,-1)$ и $(1,+\infty )$ производная $f^{\prime }\left(x\right)>0$ — функция возрастает. На $(-1,1)$ производная $f^{\prime }\left(x\right)<0$ — функция убывает.
   Экстремумы:
   • В точке $x=-1$ знак меняется с $+$ на $-$, это локальный максимум: $f\left(-1\right)=(-2{)}^2\cdot 1=\mathbf{4}$. В точке $x=1$ знак меняется с $-$ на $+$, это локальный минимум: $f\left(1\right)=0^2\cdot 3=\mathbf{0}$.

️ Шаг 2: Анализ функции f(x) = 4\sqrt{x} - x

1. Область определения: $D\left(f\right)=[0,+\infty )$. Производная: $f^{\prime }\left(x\right)=4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2}{\sqrt{x}}-1$ . Критические точки: $f^{\prime }\left(x\right)=0\sqrt{x}=2x=4$ . Монотонность:
   • На $(0,4)$ производная $f^{\prime }\left(x\right)>0$ (например, $f^{\prime }\left(1\right)=1$) — функция возрастает. На $(4,+\infty )$ производная $f^{\prime }\left(x\right)<0$ (например, $f^{\prime }\left(9\right)=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$ ) — функция убывает.
   Экстремумы:
   • В точке $x=4$ производная меняет знак с $+$ на $-$, это локальный максимум: $f\left(4\right)=4\cdot 2-4=\mathbf{4}$.

Ответ: а) Возрастает на $(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$, убывает на $[-1,1]$. Точки экстремума: $x_{max}=-1$ ( $y=4$), $x_{min}=1$ ( $y=0$). б) Возрастает на $[0,4]$, убывает на $[4,+\infty )$. Точка экстремума: $x_{max}=4$ ( $y=4$). Нужно ли построить графики этих функций для визуализации полученных точек и интервалов?