Как доказать, чётная или нечётная функция?

Для определения четности или нечетности функции необходимо проверить, как она ведет себя при изменении знака аргумента. Определение и условия Функция $f\left(x\right)$ определена на симметричном относительно начала координат множестве (это обязательное условие: если область определения не симметрична, например $[0;+\infty )$, функция не может быть ни четной, ни нечетной).

1. Четная функция: $f(-x)=f\left(x\right)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат ( $OY$). Нечетная функция: $f(-x)=-f\left(x\right)$. График такой функции симметричен относительно начала координат ( $0;0$). Функция общего вида: Если ни одно из условий выше не выполняется ( $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$), функция не является ни четной, ни нечетной.

Алгоритм доказательства Для проверки выполните следующие шаги:

1. Проверьте область определения ( $D\left(f\right)$): Убедитесь, что для каждого $x$ из области определения число $-x$ также в ней содержится. Если область несимметрична (например, $x\ne 5$, но $x$ может быть равен $-5$), функция сразу считается функцией общего вида. Подставьте $-x$ вместо $x$: В исходное выражение функции везде, где стоит $x$, запишите $(-x)$. Упростите выражение: Используйте свойства степеней и тригонометрических функций:
   • $(-x{)}^{2n}=x^{2n}$ (четная степень поглощает минус). $(-x{)}^{2n+1}=-x^{2n+1}$ (нечетная степень сохраняет минус). $\cos (-x)=\cos \left(x\right)$ (косинус — четная функция). $\sin (-x)=-\sin \left(x\right)$, $\text{tg}(-x)=-\text{tg}\left(x\right)$ (синус и тангенс — нечетные). $|-x|=\left|x\right|$.
   Сравните результат с оригиналом:
   • Если получили то же самое уравнение — функция четная.
   • Если получили исходное уравнение, умноженное на $-1$ (минус вынесся за скобки перед всей функцией) — функция нечетная. Если выражение изменилось так, что его нельзя привести ни к $f\left(x\right)$, ни к $-f\left(x\right)$ — функция общего вида.

Примеры решения Пример 1: $f\left(x\right)=3x^4-x^2$

1. $D\left(f\right)=\mathbb{R}$ (симметрична). Находим $f(-x)$:
   $f(-x)=3(-x{)}^4-(-x{)}^2=3x^4-x^2$. $f(-x)=f\left(x\right)$.
   Вывод: Функция четная.

Пример 2: $f\left(x\right)=2x^3+\sin \left(x\right)$

1. $D\left(f\right)=\mathbb{R}$ (симметрична). Находим $f(-x)$:
   $f(-x)=2(-x{)}^3+\sin (-x)=-2x^3-\sin (x)$. Вынесем минус за скобки:
   $f(-x)=-(2x^3+\sin (x\left)\right)=-f\left(x\right)$.
   Вывод: Функция нечетная.

Пример 3: $f\left(x\right)=x^2+x$

1. $D\left(f\right)=\mathbb{R}$. $f(-x)=(-x{)}^2+(-x)=x^2-x$. $x^2-x\ne f\left(x\right)$ и $x^2-x\ne -f\left(x\right)$ (так как $-f\left(x\right)=-x^2-x$).
   Вывод: Функция общего вида.

Я могу составить для вас таблицу свойств (сумма, произведение, частное) четных и нечетных функций для более сложных задач. Хотите, чтобы я это сделал?