Квадратный корень из 2 + х + квадратный корень из 2 - х равняется х

Для решения уравнения $\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}=x$ необходимо последовательно выполнить возведение в квадрат, учитывая область допустимых значений. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Чтобы подкоренные выражения были неотрицательными, а правая часть уравнения (результат сложения двух корней) также была неотрицательной, должны выполняться условия:

• $2+x\ge 0⟹x\ge -2$ $2-x\ge 0⟹x\le 2$ $x\ge 0$ (так как сумма корней не может быть отрицательной)

Общий интервал для поиска корней: $x\in [0,2]$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}{)}^2=x^2$ Применяем формулу квадрата суммы $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $(2+x)+2\sqrt{(2+x)(2-x)}+(2-x)=x^2$ Упрощаем левую часть (иксы сокращаются): $4+2\sqrt{4-x^2}=x^2$ 3. Изоляция корня и повторное возведение Перенесем 4 в правую часть: $2\sqrt{4-x^2}=x^2-4$ Заметим, что правая часть $x^2-4$ при $x\in [0,2]$ всегда меньше или равна нулю. Левая часть (корень) всегда больше или равна нулю. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю. Проверим это аналитически, возведя в квадрат еще раз: $(2\sqrt{4-x^2}{)}^2=(x^2-4{)}^2$ $4(4-x^2)=(x^2-4{)}^2$ $16-4x^2=x^4-8x^2+16$ 4. Решение полученного уравнения Перенесем все члены в одну сторону: $x^4-4x^2=0$ $x^2(x^2-4)=0$ Отсюда получаем три возможных корня:

1. $x_1=0$ $x_2=2$ $x_3=-2$

5. Проверка корней по ОДЗ и подстановкой

• $x=-2$: Не входит в ОДЗ ( $x\ge 0$). $x=0$: Подставляем в исходное уравнение: $\sqrt{2}+\sqrt{2}=0⟹2\sqrt{2}\ne 0$ . Корень не подходит. $x=2$: Подставляем в исходное уравнение: $\sqrt{2+2}+\sqrt{2-2}=2⟹\sqrt{4}+0=2⟹2=2$ . Корень подходит.

Ответ: $x=2$. Я могу также помочь с решением других иррациональных уравнений или систем уравнений. Хотите разобрать еще один пример?