Log 4 x - log 16 x=1\4

Для решения уравнения ${\log }_{4}x-{\log }_{16}x=\frac{1}{4}$ необходимо привести логарифмы к одному основанию. 1. Приведение к общему основанию Используем свойство перехода к новому основанию: ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ . Заметим, что $16=4^2$. Следовательно: ${\log }_{16}x={\log }_{4^2}x=\frac{1}{2}{\log }_{4}x$ 2. Подстановка в исходное уравнение Заменим ${\log }_{16}x$ в исходном выражении: ${\log }_{4}x-\frac{1}{2}{\log }_{4}x=\frac{1}{4}$ 3. Упрощение уравнения Выполним вычитание в левой части (представим ${\log }_{4}x$ как $1\cdot {\log }_{4}x$): $(1-\frac{1}{2}){\log }_{4}x=\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}{\log }_{4}x=\frac{1}{4}$ 4. Изоляция логарифма Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{1}{2}$ : ${\log }_{4}x=\frac{1}{4}\cdot 2$ ${\log }_{4}x=\frac{1}{2}$ 5. Нахождение переменной $x$ Согласно определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $x=4^{\frac{1}{2}}$ $x=\sqrt{4}$ $x=2$Проверка

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x>0$. Число $2$ удовлетворяет этому условию. Подставим $x=2$ в исходное уравнение:
   • ${\log }_{4}2=\frac{1}{2}$ (так как $4^{1/2}=2$) ${\log }_{16}2=\frac{1}{4}$ (так как ${16}^{1/4}=2$) $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

Равенство верно. Ответ: $x=2$. Я могу также решить аналогичное логарифмическое уравнение с другими основаниями или помочь с преобразованием более сложных выражений.