На склад поступили детали с трех станков. на первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором 35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта , на втором 80% и на третьем 70% . какова вероятность того , что взята наугад деталь окажется первого сорта.

Вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта, составляет 0,815. Шаг 1: Определение гипотез и их вероятностей Пусть событие $A$ — деталь оказалась первого сорта. Сначала определим гипотезы $H_i$, соответствующие выбору детали, изготовленной на конкретном станке, и их априорные вероятности:

• $H_1$ — деталь изготовлена на первом станке: $P\left(H_1\right)=40\%=0,4$ $H_2$ — деталь изготовлена на втором станке: $P\left(H_2\right)=35\%=0,35$ $H_3$ — деталь изготовлена на третьем станке: $P\left(H_3\right)=25\%=0,25$

Сумма вероятностей гипотез равна единице: $0,4+0,35+0,25=1$. Шаг 2: Определение условных вероятностей Запишем условные вероятности того, что деталь будет первого сорта, при условии ее изготовления на определенном станке:

• Для первого станка: $P\left(A\right|H_1)=90\%=0,9$ Для второго станка: $P\left(A\right|H_2)=80\%=0,8$ Для третьего станка: $P\left(A\right|H_3)=70\%=0,7$

Шаг 3: Вычисление по формуле полной вероятности Для нахождения общей вероятности события $A$ воспользуемся формулой полной вероятности: $P\left(A\right)=P\left(H_1\right)\cdot P\left(A\right|H_1)+P(H_2)\cdot P(A\left|H_2\right)+P\left(H_3\right)\cdot P\left(A\right|H_3)$Подставим числовые значения: $P\left(A\right)=0,4\cdot 0,9+0,35\cdot 0,8+0,25\cdot 0,7$Выполним промежуточные вычисления:

• $0,4\cdot 0,9=0,36$ $0,35\cdot 0,8=0,28$ $0,25\cdot 0,7=0,175$

Складываем результаты: $P\left(A\right)=0,36+0,28+0,175=0,815$Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная деталь является первосортной, равна 0,815 (или 81,5%). Хотите узнать, как изменится эта вероятность, если изменятся доли выработки станков или их процент брака?