Найдите промежутки возрастания,убывания функции,экстремумы f(x)=x^3-6x^2+5

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,0]$ и $[4,+\infty )$, убывает на промежутке $[0,4]$. Точка максимума $(0,5)$, точка минимума $(4,-27)$. Шаг 1: Нахождение производной Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо найти её производную по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x$Шаг 2: Определение критических точек Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае приравниваем производную к нулю: $3x^2-12x=0$Выносим общий множитель за скобки: $3x(x-4)=0$Отсюда получаем две критические точки: $x_1=0$ и $x_2=4$. Шаг 3: Исследование знаков производной Разделим числовую ось на интервалы точками $0$ и $4$ и определим знак $f^{\prime }\left(x\right)$ на каждом из них:

1. На интервале $(-\infty ,0)$: выберем $x=-1$, тогда $f^{\prime }\left(-1\right)=3(-1{)}^2-12(-1)=3+12=15>0$. Производная положительна, функция возрастает. На интервале $(0,4)$: выберем $x=1$, тогда $f^{\prime }\left(1\right)=3(1{)}^2-12(1)=3-12=-9<0$. Производная отрицательна, функция убывает. На интервале $(4,+\infty )$: выберем $x=5$, тогда $f^{\prime }\left(5\right)=3(5{)}^2-12(5)=75-60=15>0$. Производная положительна, функция возрастает.

Шаг 4: Нахождение экстремумов Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, это точка локального максимума. При переходе через $x=4$ знак меняется с $-$ на $+$, это точка локального минимума. Вычислим значения функции в этих точках: $f\left(0\right)=0^3-6\cdot 0^2+5=5$ $f\left(4\right)=4^3-6\cdot 4^2+5=64-96+5=-27$Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,0]\cup [4,+\infty )$ и убывает при $x\in [0,4]$. Точки экстремума: $x_{max}=0$, $y_{max}=5$; $x_{min}=4$, $y_{min}=-27$. Нужно ли вам построить график этой функции или найти точки перегиба через вторую производную?