Как найти формулу общего члена ряда 4/2+7/7+10/12+...

Общий член заданного ряда имеет вид ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{5}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{3}}$ . Шаг 1: Анализ числителей Рассмотрим последовательность чисел в числителях: $4,7,10,\dots$. Заметим, что разность между соседними членами постоянна: $7-4=3$ $10-7=3$ Это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1=4$, а разность $d=3$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $A_n=a_1+(n-1)d$. Подставим значения: $A_n=4+(n-1)\cdot 3=4+3n-3=3n+1$. Шаг 2: Анализ знаменателей Рассмотрим последовательность чисел в знаменателях: $2,7,12,\dots$. Здесь также наблюдается постоянная разность: $7-2=5$ $12-7=5$ Это арифметическая прогрессия с первым членом $b_1=2$ и разностью $d=5$. Используем ту же формулу: $B_n=b_1+(n-1)d$. Подставим значения: $B_n=2+(n-1)\cdot 5=2+5n-5=5n-3$. Шаг 3: Составление общей формулы Общий член ряда $a_n$ представляет собой дробь, где в числителе стоит выражение для $n$-го члена первой прогрессии, а в знаменателе — для второй. Объединяя полученные результаты, получаем: $a_n=\frac{3n+1}{5n-3}$ Проверка для $n=3$: $a_3=\frac{3\left(3\right)+1}{5\left(3\right)-3}=\frac{10}{12}$ , что соответствует третьему члену ряда. Ответ: Формула общего члена ряда: ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{5}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{3}}$ Нужна ли вам помощь в исследовании сходимости этого ряда или вычислении его частичной суммы?