Log_4(6 + 5x) = log_4(3 + x) + 1

Для решения уравнения ${\log }_4(6+5x)={\log }_4(3+x)+1$ воспользуемся свойствами логарифмов и определением логарифмической функции. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

1. $6+5x>0⟹5x>-6⟹x>-1.2$ $3+x>0⟹x>-3$

Общее условие: $x>-1.2$. 2. Преобразование уравнения Представим число $1$ в виде логарифма по основанию $4$, чтобы все слагаемые имели одинаковый вид: $1={\log }_4\left(4\right)$Теперь подставим это в исходное уравнение: ${\log }_4(6+5x)={\log }_4(3+x)+{\log }_4\left(4\right)$Используем свойство суммы логарифмов ${\log }_a\left(b\right)+{\log }_a\left(c\right)={\log }_a(b\cdot c)$: ${\log }_4(6+5x)={\log }_4\left(\right(3+x)\cdot 4)$3. Решение линейного уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $6+5x=4(3+x)$Раскроем скобки в правой части: $6+5x=12+4x$Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую: $5x-4x=12-6$ $x=6$4. Проверка и ответ Сверим полученный результат с ОДЗ: Число $6$ больше, чем $-1.2$, следовательно, корень является допустимым. Ответ: $6$ Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или разобрать более сложные логарифмические неравенства. Хотите продолжить практику?