Log числа (x+2)по основанию x) -4log числа x по основанию x+2 больше или равно 0

Для решения неравенства ${\log }_x(x+2)-4{\log }_{x+2}x\ge 0$ воспользуемся методами замены переменной и интервалов. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Основания логарифмов должны быть положительными и не равными единице, а аргументы — положительными:

• $x>0$ $x\ne 1$ $x+2>0⟹x>-2$ $x+2\ne 1⟹x\ne -1$

Итоговое ОДЗ: $x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$. 2. Преобразование и замена Заметим, что логарифмы являются взаимно обратными величинами: ${\log }_{x+2}x=\frac{1}{{\log }_x(x+2)}$ Пусть $t={\log }_x(x+2)$. Тогда неравенство принимает вид: $t-\frac{4}{t}\ge 0$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{t^2-4}{t}\ge 0⟹\frac{(t-2)(t+2)}{t}\ge 0$ Решая методом интервалов для $t$, получаем два промежутка:

1. $-2\le t<0$ $t\ge 2$

3. Обратная замена Теперь решим два случая для $x$. Случай А: $-2\le {\log }_x(x+2)<0$ Этот случай распадается на две подсистемы в зависимости от основания $x$.

• Если $x>1$:
  Логарифм ${\log }_x(x+2)$ всегда положителен, так как и основание, и аргумент больше 1. Условие $<0$ не выполняется. Решений нет. Если $0<x<1$:
  ${\log }_x(x+2)<0$ выполняется всегда (основание $<1$, аргумент $>1$).
  Решим левую часть: ${\log }_x(x+2)\ge -2$.
  Так как $0<x<1$, знак меняется: $x+2\le x^{-2}$.
  $x+2\le \frac{1}{x^2}⟹x^3+2x^2-1\le 0$ .
  Разложим на множители: $(x+1)(x^2+x-1)\le 0$.
  На интервале $(0;1)$ множитель $(x+1)$ положителен, значит $x^2+x-1\le 0$.
  Корни уравнения $x^2+x-1=0$: $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ .
  С учетом $0<x<1$, получаем: $0<x\le \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

Случай Б: ${\log }_x(x+2)\ge 2$

• Если $0<x<1$:
  ${\log }_x(x+2)\ge 2⟹x+2\le x^2⟹x^2-x-2\ge 0$.
  $(x-2)(x+1)\ge 0$. В интервале $(0;1)$ решений нет. Если $x>1$:
  ${\log }_x(x+2)\ge 2⟹x+2\ge x^2⟹x^2-x-2\le 0$.
  $(x-2)(x+1)\le 0⟹-1\le x\le 2$.
  С учетом условия $x>1$, получаем: $1<x\le 2$.

Ответ Объединяя результаты, получаем итоговые интервалы: $x\in (0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}]\cup (1;2]$ Хотите, я проверю решение аналогичного неравенства с другими числовыми данными?