Sin^4a+cos^4a, если sin2a=корень из 2 на 2

Для решения данного выражения воспользуемся методами алгебраических преобразований и тригонометрическими тождествами. 1. Преобразование искомого выражения Выражение ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha$ можно представить как «неполный» квадрат суммы. Вспомним формулу квадрата суммы: $(a^2+b^2{)}^2=a^4+2a^2{b}^2+b^4$Отсюда следует: ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$2. Использование основных тождеств

• Согласно основному тригонометрическому тождеству: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$. Следовательно, $({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2=1^2=1$.

Теперь перейдем ко второму слагаемому $2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$. Вспомним формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$Возведем обе части в квадрат: ${\sin }^{2}2\alpha =(2\sin \alpha \cos \alpha {)}^2=4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$Чтобы получить $2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$, разделим полученное выражение на 2: $2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{{\sin }^{2}2\alpha }{2}$ 3. Подстановка значений Подставим полученные преобразования в исходную формулу: ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =1-\frac{{\sin }^{2}2\alpha }{2}$ По условию задачи $\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Найдем его квадрат: ${\sin }^{2}2\alpha ={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 4. Финальный расчет Подставляем числовое значение в формулу: ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =1-\frac{1/2}{2}$ ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =1-\frac{1}{4}$ ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha =\frac{3}{4}=0,75$ Ответ: 0,75 (или $3/4$) Я могу также рассчитать значение для выражения ${\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha$ при тех же условиях, если это потребуется.