Найти производную функции y=x/inx

Для нахождения производной функции $y=\frac{x}{\ln x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби). Формула производной частного Если функция представлена в виде $y=\frac{u}{v}$ , то её производная вычисляется по формуле: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ Пошаговое решение 1. Определим компоненты числителя и знаменателя:

• $u=x$ $v=\ln x$

2. Найдем производные каждой компоненты:

• $u^{\prime }=(x{)}^{\prime }=1$ $v^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

3. Подставим полученные значения в формулу производной частного: $y^{\prime }=\frac{(x{)}^{\prime }\cdot \ln x-x\cdot (\ln x{)}^{\prime }}{(\ln x{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{1\cdot \ln x-x\cdot \frac{1}{x}}{{\ln }^{2}x}$ 4. Упростим выражение: В числителе произведение $x\cdot \frac{1}{x}$ дает $1$. Таким образом: $y^{\prime }=\frac{\ln x-1}{{\ln }^{2}x}$ Итоговый ответ: $y^{\prime }=\frac{\ln x-1}{{\ln }^{2}x}$ Я могу также найти критические точки этой функции или исследовать её на экстремумы, если это необходимо.