Log^2(2)x + 2log(2)x - 3>0

Для решения неравенства ${\log }_2^{2}x+2{\log }_{2}x-3>0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел, поэтому: $x>0$ 2. Замена переменной Пусть $t={\log }_{2}x$. Тогда исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства: $t^2+2t-3>0$3. Решение квадратного неравенства Найдем корни соответствующего уравнения $t^2+2t-3=0$. Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

• Сумма корней $t_1+t_2=-2$ Произведение корней $t_1\cdot t_2=-3$

Корни уравнения: $t_1=1$ $t_2=-3$ Разложим левую часть на множители: $(t-1)(t+3)>0$Методом интервалов определяем промежутки, где выражение положительно:

• $t<-3$ $t>1$

4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t={\log }_{2}x$: Случай 1: ${\log }_{2}x<-3$ ${\log }_{2}x<{\log }_2{2}^{-3}$Так как основание логарифма (2) больше 1, знак неравенства сохраняется: $x<\frac{1}{8}$ Случай 2: ${\log }_{2}x>1$ ${\log }_{2}x>{\log }_2{2}^1$ $x>2$5. Пересечение с ОДЗ Учитывая условие $x>0$, получаем итоговые интервалы:

1. $0<x<\frac{1}{8}$ $x>2$

Ответ: $x\in (0;0.125)\cup (2;+\infty )$Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать решение через метод рационализации. Хотите попробовать решить похожий пример?