Вычислить неопределённый интеграл, используя метод поведение под знак дифференциала. интеграл x(x+2)^9 dx

Для вычисления интеграла $\int x(x+2{)}^{9}dx$ методом подведения под знак дифференциала, необходимо преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы переменная интегрирования соответствовала основанию степени. Решение 1. Подготовка дифференциала Заметим, что в выражении присутствует множитель $(x+2{)}^9$. Чтобы интегрирование было удобным, нам нужно получить дифференциал $d(x+2)$. Так как $d(x+2)=dx$, мы можем просто заменить $dx$ на $d(x+2)$. 2. Преобразование множителя $x$ Теперь необходимо выразить оставшийся множитель $x$ через $(x+2)$, чтобы все элементы функции зависели от одной и той же конструкции: $x=(x+2)-2$3. Подстановка в интеграл Запишем интеграл с учетом этих преобразований: $\int x(x+2{)}^{9}dx=\int ((x+2)-2\left)\right(x+2{)}^{9}d(x+2)$4. Раскрытие скобок Распределим $(x+2{)}^9$ по слагаемым в скобках: $\int \left(\right(x+2)\cdot (x+2{)}^9-2(x+2{)}^9)d(x+2)=\int \left(\right(x+2{)}^{10}-2(x+2{)}^9)d(x+2)$5. Интегрирование Используем свойство линейности и табличную формулу $\int u^{n}du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$ : $\int (x+2{)}^{10}d(x+2)-\int 2(x+2{)}^{9}d(x+2)$Вычисляем каждое слагаемое:

• $\int (x+2{)}^{10}d(x+2)=\frac{(x+2{)}^{11}}{11}$ $2\int (x+2{)}^{9}d(x+2)=2\cdot \frac{(x+2{)}^{10}}{10}=\frac{(x+2{)}^{10}}{5}$

6. Окончательный ответ Объединяем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$: $\int x(x+2{)}^{9}dx=\frac{(x+2{)}^{11}}{11}-\frac{(x+2{)}^{10}}{5}+C$ Альтернативная форма (вынесение общего множителя): Для упрощения вида ответа можно вынести $(x+2{)}^{10}$: $\frac{(x+2{)}^{10}}{55}\left(5\right(x+2)-11)+C=\frac{(x+2{)}^{10}(5x-1)}{55}+C$ Хотите, чтобы я проверил это решение путем дифференцирования полученного результата?