Решить уравнение sqrt(х-1)+sqrt(х+3)+2*sqrt(х-1)(х+3)=4-2x

Для решения уравнения $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}=4-2x$ воспользуемся методом замены переменной. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

• $x-1\ge 0⟹x\ge 1$ $x+3\ge 0⟹x\ge -3$

Следовательно, ОДЗ: $x\in [1;+\infty )$. 2. Преобразование и замена Заметим, что правую часть уравнения можно переписать. Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, чтобы увидеть структуру выражения: $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}+2x=4$ Пусть $u=\sqrt{x-1}$ и $v=\sqrt{x+3}$ . Тогда уравнение принимает вид: $u+v+2uv+2x=4$Выразим $x$ через $u$ или $v$. Заметим, что: $u^2=x-1$ $v^2=x+3$ Сложим эти равенства: $u^2+v^2=(x-1)+(x+3)=2x+2$. Отсюда выразим $2x$: $2x=u^2+v^2-2$ 3. Подстановка в уравнение Подставим полученное выражение для $2x$ в исходное уравнение: $u+v+2uv+(u^2+v^2-2)=4$ $u^2+2uv+v^2+u+v-6=0$Заметим, что $u^2+2uv+v^2=(u+v{)}^2$. Пусть $t=u+v$. Тогда уравнение становится квадратным относительно $t$: $t^2+t-6=0$4. Решение квадратного уравнения Решим уравнение $t^2+t-6=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $t_1=-3$ $t_2=2$

Так как $u=\sqrt{x-1}$ и $v=\sqrt{x+3}$ , их сумма $t=u+v$ должна быть неотрицательной (и фактически больше нуля, так как $x\ge 1$). Следовательно, корень $t=-3$ не подходит. Остается: $u+v=2$ $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=2$ 5. Нахождение x Проверим уравнение $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}=2$ на интервале ОДЗ ( $x\ge 1$):

• Если $x=1$, то $\sqrt{1-1}+\sqrt{1+3}=0+2=2$ . Это является решением. Если $x>1$, то функция $f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}$ строго возрастает.
  При $x=1$ значение равно 2. Значит, при любом $x>1$ значение функции будет больше 2.

Таким образом, $x=1$ — единственный корень уравнения. Ответ: $x=1$ Я могу также проверить это уравнение на наличие посторонних корней или исследовать функцию графически, если вам это потребуется.