Log2(x-2)+log2(x-3)=1 решить уравнение

Для решения уравнения ${\log }_2(x-2)+{\log }_2(x-3)=1$ воспользуемся свойствами логарифмов и алгоритмом решения логарифмических уравнений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля:

• $x-2>0⟹x>2$ $x-3>0⟹x>3$

Общее условие для системы: $x>3$. 2. Преобразование уравнения Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: ${\log }_a\left(f\right(x\left)\right)+{\log }_a\left(g\right(x\left)\right)={\log }_a\left(f\right(x)\cdot g(x\left)\right)$. ${\log }_2\left(\right(x-2\left)\right(x-3\left)\right)=1$Перейдем от логарифмического уравнения к равносильному ему (на ОДЗ) алгебраическому, используя определение логарифма: $(x-2)(x-3)=2^1$3. Решение квадратного уравнения Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-3x-2x+6=2$ $x^2-5x+4=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=5$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=4$

Корни уравнения: $x_1=4$ $x_2=1$ 4. Проверка по ОДЗ Сравним полученные значения с условием $x>3$:

1. $x=4$: $4>3$ — подходит. $x=1$: $1<3$ — не подходит (при $x=1$ выражения под логарифмами становятся отрицательными).

Ответ: $x=4$. Хотите, чтобы я решил аналогичное уравнение с другим основанием или более сложным аргументом?