Log3(5x - 6)< log3 2+3

Для решения неравенства ${\log }_3(5x-6)<{\log }_{3}2+3$ воспользуемся свойствами логарифмов и потенцированием. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $5x-6>0⟹5x>6⟹x>1.2$2. Преобразование правой части Представим правую часть неравенства в виде единого логарифма по основанию $3$:

• Число $3$ можно записать как ${\log }_3\left(3^3\right)={\log }_{3}27$. Тогда: ${\log }_{3}2+3={\log }_{3}2+{\log }_{3}27$. Используя свойство суммы логарифмов ( ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(bc\right)$):
  ${\log }_{3}2+{\log }_{3}27={\log }_3(2\cdot 27)={\log }_{3}54$

Теперь неравенство выглядит так: ${\log }_3(5x-6)<{\log }_{3}54$3. Решение неравенства Так как основание логарифма $3>1$, логарифмическая функция возрастает. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $5x-6<54$Решаем полученное линейное неравенство: $5x<54+6$ $5x<60$ $x<12$4. Сопоставление с ОДЗ Объединим полученное решение с условием из шага 1:

1. $x>1.2$ $x<12$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $1.2<x<12$ или в виде интервала. Ответ: $x\in (1.2;12)$ Я могу составить для вас аналогичное упражнение для закрепления материала или разобрать графический метод решения этого неравенства.