Log3(cosx+sin2x+9)=2

Для решения уравнения ${\log }_3(\cos x+\sin 2x+9)=2$ воспользуемся определением логарифма и тригонометрическими формулами. 1. Переход к алгебраическому уравнению По определению логарифма ( ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$): $\cos x+\sin 2x+9=3^2$ $\cos x+\sin 2x+9=9$Вычитаем 9 из обеих частей уравнения: $\cos x+\sin 2x=0$2. Применение тригонометрических формул Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\cos x+2\sin x\cos x=0$3. Разложение на множители Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x(1+2\sin x)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $\cos x=0$ $1+2\sin x=0⟹\sin x=-\frac{1}{2}$

4. Решение полученных уравнений Случай А: $\cos x=0$ Это частный случай на тригонометрической окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $\sin x=-\frac{1}{2}$ Используем общую формулу или значения на окружности: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ (Или в записи через арксинус: $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+\pi k$ ) 5. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\cos x+\sin 2x+9>0$Поскольку функции $\cos x$ и $\sin 2x$ принимают значения в диапазоне $[-1,1]$, их минимальная сумма равна $-2$. $-2+9=7>0$Следовательно, условие ОДЗ выполняется для любых действительных $x$. Все найденные корни являются решениями. Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n;x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k;x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу выполнить отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо. Хотите, чтобы я проверил конкретный интервал?