Вычислите значение sin α ,tg α ,ctg α ,если cos α=2/3 , 0<x<pi/2

Для решения данной задачи воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. По условию нам дано: $\cos \alpha =\frac{2}{3}$ $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\text{(первая четверть)}$ В первой четверти значения всех тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg) положительны. 1. Нахождение $\sin \alpha$ Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$Выразим $\sin \alpha$: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$ (Берем положительное значение корня, так как угол находится в первой четверти). Подставим известное значение: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ 2. Нахождение $\text{tg}\alpha$ Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу: $\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ Подставим вычисленные значения: $\text{tg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ 3. Нахождение $\text{ctg}\alpha$ Котангенс угла — это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }$ Подставим значение тангенса: $\text{ctg}\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$ Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$ : $\text{ctg}\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$ Итоговый ответ:

• $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$
• $\text{tg}\alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$
• $\text{ctg}\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Я могу также помочь с решением тригонометрических уравнений или упрощением выражений, если вы пришлете их условия.