На доске написаны числа 1,2,3,..., 30. за один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых по предыдущих ходах. а) напишите 5 последовательных хода б) можно ли сделать 10 ходов в) сколько максимально ходов можно сделать?

Question

На доске написаны числа 1,2,3,..., 30. за один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых по предыдущих ходах. а) напишите 5 последовательных хода б) можно ли сделать 10 ходов в) сколько максимально ходов можно сделать?

ReaderMax 05.03.2026 09:34

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Максимально можно сделать 6 ходов. ️ Шаг 1: Обоснование невозможности 10 ходов Если бы мы сделали 10 ходов, то были бы стерты все числа от 1 до 30. Сумма всех этих чисел равна: $S_{t o t a l} = \frac{1 + 30}{2} \cdot 30 = 465 cap S sub t o t a l end-sub equals the fraction with numerator 1 plus 30 and denominator 2 end-fraction center dot 30 equals 465$ По условию каждая из 10 сумм троек $S_{i} < 35 cap S sub i is less than 35$ и все суммы различны. Чтобы общая сумма была максимальной, возьмем 10 самых больших возможных различных сумм, меньших 35: $34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25 34 comma 33 comma 32 comma 31 comma 30 comma 29 comma 28 comma 27 comma 26 comma 25$ . Их сумма равна: $S_{m a x} = \frac{25 + 34}{2} \cdot 10 = 295 cap S sub m a x end-sub equals the fraction with numerator 25 plus 34 and denominator 2 end-fraction center dot 10 equals 295$ Так как $465 > 295 465 is greater than 295$ , стереть все числа невозможно. Значит, 10 ходов сделать нельзя. ️ Шаг 2: Определение максимального количества ходов Пусть сделано $k k$ ходов. Сумма $3 k 3 k$ наименьших чисел должна быть не больше суммы $k k$ максимально возможных различных результатов: $\sum_{i = 1}^{3 k} i \leq \sum_{j = 35 - k}^{34} j sum from i equals 1 to 3 k of i is less than or equal to sum from j equals 35 minus k to 34 of j$ $\frac{3 k (3 k + 1)}{2} \leq \frac{k (34 + 35 - k)}{2} the fraction with numerator 3 k open paren 3 k plus 1 close paren and denominator 2 end-fraction is less than or equal to the fraction with numerator k open paren 34 plus 35 minus k close paren and denominator 2 end-fraction$ $3 (3 k + 1) \leq 69 - k 3 open paren 3 k plus 1 close paren is less than or equal to 69 minus k$ $9 k + 3 \leq 69 - k ⟹ 10 k \leq 66 ⟹ k \leq 6.6 9 k plus 3 is less than or equal to 69 minus k ⟹ 10 k is less than or equal to 66 ⟹ k is less than or equal to 6.6$ Таким образом, максимально возможное число ходов — 6. ️ Шаг 3: Построение примера для 6 ходов Для выполнения пункта (а) и подтверждения максимума (в), приведем последовательность из 6 ходов. Нам нужно использовать числа от 1 до 30 так, чтобы суммы не повторялись и были меньше 35.

${30, 1, 2} the set 30 comma 1 comma 2 end-set$ , сумма 33 ${29, 3, 4} the set 29 comma 3 comma 4 end-set$ , сумма 36 — Ошибка, сумма должна быть < 35.

Попробуем иначе, используя малые числа для больших «хвостов»:

${20, 1, 2} the set 20 comma 1 comma 2 end-set$ , сумма 23 ${19, 3, 4} the set 19 comma 3 comma 4 end-set$ , сумма 26 ${18, 5, 6} the set 18 comma 5 comma 6 end-set$ , сумма 29 ${17, 7, 8} the set 17 comma 7 comma 8 end-set$ , сумма 32 ${16, 9, 10} the set 16 comma 9 comma 10 end-set$ , сумма 35 — Ошибка, строго меньше 35.

Скорректированный пример (6 ходов):

${1, 2, 3} the set 1 comma 2 comma 3 end-set$ , сумма 6 ${4, 5, 6} the set 4 comma 5 comma 6 end-set$ , сумма 15 ${7, 8, 9} the set 7 comma 8 comma 9 end-set$ , сумма 24 ${10, 11, 12} the set 10 comma 11 comma 12 end-set$ , сумма 33 ${13, 14, 15} the set 13 comma 14 comma 15 end-set$ , сумма 42 — Снова слишком много.

Правильная стратегия — комбинировать большие и маленькие числа:

${30, 1, 2} the set 30 comma 1 comma 2 end-set$ , сумма 33 ${29, 3, 4} the set 29 comma 3 comma 4 end-set$ , сумма 36 (не подходит). ${1, 2, 3} the set 1 comma 2 comma 3 end-set$ , сумма 6 ${4, 5, 25} the set 4 comma 5 comma 25 end-set$ , сумма 34 ${6, 7, 20} the set 6 comma 7 comma 20 end-set$ , сумма 33 ${8, 9, 15} the set 8 comma 9 comma 15 end-set$ , сумма 32 ${10, 11, 12} the set 10 comma 11 comma 12 end-set$ , сумма 31 ${13, 14, 30} the set 13 comma 14 comma 30 end-set$ , сумма — нет.

Пример 5 ходов для пункта (а):

{1, 2, 3} (сумма 6)
{4, 5, 7} (сумма 16)
{6, 8, 9} (сумма 23)
{10, 11, 12} (сумма 33)
{13, 14, 1} — числа не должны повторяться.

Итоговый пример для 6 ходов:

${21, 1, 2} 24 the set 21 comma 1 comma 2 end-set right arrow 24$ ${20, 3, 4} 27 the set 20 comma 3 comma 4 end-set right arrow 27$ ${19, 5, 6} 30 the set 19 comma 5 comma 6 end-set right arrow 30$ ${18, 7, 8} 33 the set 18 comma 7 comma 8 end-set right arrow 33$ ${17, 9, 5} the set 17 comma 9 comma 5 end-set$ (нельзя) ${16, 9, 5} right arrow the set 16 comma 9 comma 5 end-set$ (нельзя) ${12, 10, 11} 33 right arrow the set 12 comma 10 comma 11 end-set right arrow 33$ (уже была).
Возьмем: {1, 2, 3} $6 right arrow 6$ {4, 5, 6} $15 right arrow 15$ {7, 8, 9} $24 right arrow 24$ {10, 11, 12} $33 right arrow 33$ {13, 14, 5} (нельзя) $right arrow$ {13, 14, 1} (нельзя).
Используем числа от 1 до 18: ${1, 2, 3} 6 the set 1 comma 2 comma 3 end-set right arrow 6$ ${4, 5, 18} 27 the set 4 comma 5 comma 18 end-set right arrow 27$ ${6, 7, 17} 30 the set 6 comma 7 comma 17 end-set right arrow 30$ ${8, 9, 16} 33 the set 8 comma 9 comma 16 end-set right arrow 33$ ${10, 11, 13} 34 the set 10 comma 11 comma 13 end-set right arrow 34$ ${12, 14, 15} 41 the set 12 comma 14 comma 15 end-set right arrow 41$ (не подходит).

Максимально достижимое число ходов — 6, но суммы должны распределяться очень плотно. Ответ: а) Примеры 5 ходов: {1, 2, 20} (23), {3, 4, 19} (26), {5, 6, 18} (29), {7, 8, 17} (32), {9, 10, 15} (34). б) Нет, нельзя. в) 6 ходов. Продолжить ли решение с поиском точной комбинации для 6-го хода или разобрать другой вариант условий?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов