Log 1/2 (3x - 5) = log1/2 (x в квадрате - 3) log 2 (x в квадрате - 3 x) = 2 log 2x + log 2 (x-3) = 2 lg в квадрате x - 2 lgx - 3= 0

Ответы на уравнения: 1) x = 2; 2) x = -1, x = 4; 3) x = 4; 4) x = 10^{\frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}}. ️ Шаг 1: Решение первого уравнения Уравнение: ${\log }_{1/2}(3x-5)={\log }_{1/2}(x^2-3)$.

1. ОДЗ: $3x-5>0x>5/3$ и $x^2-3>0x>\sqrt{3}$ или $x<-\sqrt{3}$ . Пересечение: $x>\sqrt{3}\approx 1.73$ . Приравниваем аргументы: $3x-5=x^2-3x^2-3x+2=0$. Корни: $x_1=1,x_2=2$. Проверка ОДЗ: $x=1$ не подходит ( $1<1.73$), $x=2$ подходит.

️ Шаг 2: Решение второго уравнения Уравнение: ${\log }_2(x^2-3x)=2$.

1. ОДЗ: $x^2-3x>0x(x-3)>0x\in (-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$. По определению логарифма: $x^2-3x=2^2{x}^2-3x-4=0$. Корни через дискриминант: $x_1=-1,x_2=4$. Оба корня входят в ОДЗ.

️ Шаг 3: Решение третьего уравнения Уравнение: ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-3)=2$.

1. ОДЗ: $x>0$ и $x-3>0x>3$. Используем свойство суммы логарифмов: ${\log }_2\left(x\right(x-3\left)\right)=2x^2-3x=4$. Уравнение $x^2-3x-4=0$ имеет корни $x_1=-1,x_2=4$. По ОДЗ подходит только $x=4$.

️ Шаг 4: Решение четвертого уравнения Уравнение: $2{\lg }^{2}x-2\lg x-3=0$.

1. ОДЗ: $x>0$. Замена $t=\lg x$: $2t^2-2t-3=0$. Дискриминант $D=4-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=28$. Корни $t=\frac{2\pm \sqrt{28}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{7}}{2}$ . Обратная замена: $\lg x=\frac{1\pm \sqrt{7}}{2}x={10}^{\frac{1\pm \sqrt{7}}{2}}$ .

Ответ:

1. x = 2
2. x = -1, x = 4
3. x = 4
4. x = 10^{\frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}}

Нужно ли подготовить аналогичные задания для тренировки или разобрать свойства логарифмов, использованные при решении?