Найдите промежутки возрастания и убывания f(x)=3x^3-x^2-7x

Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-7/9]$ и $[1,+\infty )$, а убывает на промежутке $[-7/9,1]$. Шаг 1: Нахождение производной Для определения промежутков монотонности необходимо найти производную функции $f\left(x\right)=3x^3-x^2-7x$. Используем правило дифференцирования степенной функции: $f^{\prime }\left(x\right)=9x^2-2x-7$Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых функция может менять характер монотонности: $9x^2-2x-7=0$Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D=(-2{)}^2-4\cdot 9\cdot (-7)=4+252=256$Вычислим корни: $x_1=\frac{2+\sqrt{256}}{18}=\frac{2+16}{18}=1$ $x_2=\frac{2-16}{18}=-\frac{14}{18}=-\frac{7}{9}$ Шаг 3: Определение знаков производной Производная $f^{\prime }\left(x\right)=9x^2-2x-7$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Она принимает отрицательные значения между корнями и положительные вне их:

1. На интервале $(-\infty ,-7/9)$ выберем $x=-1$: $f^{\prime }\left(-1\right)=9+2-7=4>0$. Функция возрастает. На интервале $(-7/9,1)$ выберем $x=0$: $f^{\prime }\left(0\right)=-7<0$. Функция убывает. На интервале $(1,+\infty )$ выберем $x=2$: $f^{\prime }\left(2\right)=36-4-7=25>0$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает при $x\in (-\infty ,-7/9]\cup [1,+\infty )$ и убывает при $x\in [-7/9,1]$. Нужно ли вам найти экстремумы (точки максимума и минимума) для этой функции?