Найти интервалы возрастания и убывания функции: y=2x^3-3x^2-36x+40

Для функции $y=2x^3-3x^2-36x+40$ интервалами возрастания являются $(-\infty ,-2]$ и $[3,+\infty )$, а интервалом убывания является $[-2,3]$. Чтобы определить монотонность функции, необходимо исследовать знак её первой производной. 1. Вычислить производную функции Применим правила дифференцирования степенной функции $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ к каждому слагаемому: $y^{\prime }=(2x^3{)}^{\prime }-(3x^2{)}^{\prime }-(36x{)}^{\prime }+(40{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=6x^2-6x-36$2. Найти критические точки Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю. Решим квадратное уравнение: $6x^2-6x-36=0$Разделим всё уравнение на $6$ для упрощения: $x^2-x-6=0$Используя теорему Виета или дискриминант ( $D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25$), находим корни: $x_1=\frac{1+5}{2}=3,x_2=\frac{1-5}{2}=-2$ 3. Определить знаки производной Разделим числовую ось на интервалы точками $-2$ и $3$ и проверим знак $y^{\prime }$ на каждом из них:

1. Интервал $(-\infty ,-2)$: Возьмём $x=-3$.
   $y^{\prime }\left(-3\right)=6(-3{)}^2-6(-3)-36=54+18-36=36>0$. Производная положительна (возрастание). Интервал $(-2,3)$: Возьмём $x=0$.
   $y^{\prime }\left(0\right)=6(0{)}^2-6(0)-36=-36<0$. Производная отрицательна (убывание). Интервал $(3,+\infty )$: Возьмём $x=4$.
   $y^{\prime }\left(4\right)=6(4{)}^2-6(4)-36=96-24-36=36>0$. Производная положительна (возрастание).

Ответ Функция возрастает на промежутках $(-\infty ,-2]$ и $[3,+\infty )$, и убывает на промежутке $[-2,3]$. Хотите ли вы также найти координаты экстремумов (точек максимума и минимума) для этой функции?