Найти наибольшее и наименьшее значение функции : f(x)=x^3-1\3 *х

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f\left(x\right)=x^3-\frac{1}{3}x$ необходимо исследовать её поведение с помощью производной. Стоит отметить, что если область определения функции не ограничена конкретным отрезком $[a,b]$, то на всей числовой прямой функция может стремиться к бесконечности. 1. Нахождение производной Сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3-\frac{1}{3}x{)}^{\prime }=3x^2-\frac{1}{3}$ 2. Определение критических точек Приравняем производную к нулю: $3x^2-\frac{1}{3}=0$ $3x^2=\frac{1}{3}$ $x^2=\frac{1}{9}$ $x_1=\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{3}$ 3. Исследование экстремумов Определим знаки производной на промежутках:

• На интервале $(-\infty ;-1/3)$ производная $f^{\prime }\left(x\right)>0$ (функция возрастает). На интервале $(-1/3;1/3)$ производная $f^{\prime }\left(x\right)<0$ (функция убывает). На интервале $(1/3;+\infty )$ производная $f^{\prime }\left(x\right)>0$ (функция возрастает).

Следовательно:

• $x=-1/3$ — точка локального максимума. $x=1/3$ — точка локального минимума.

4. Вычисление значений в точках экстремума Вычислим значения функции в этих точках:

• Локальный максимум:
  $f(-1/3)=(-1/3{)}^3-\frac{1}{3}(-1/3)=-\frac{1}{27}+\frac{1}{9}=\frac{-1+3}{27}=\frac{2}{27}$ Локальный минимум:
  $f(1/3)=(1/3{)}^3-\frac{1}{3}(1/3)=\frac{1}{27}-\frac{1}{9}=\frac{1-3}{27}=-\frac{2}{27}$

Итоговый анализ Результат зависит от того, рассматривается ли функция на всей прямой или на отрезке:

1. На всей числовой прямой ( $x\in \mathbb{R}$):
   • Так как $\underset{x+\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ и $\underset{x-\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, то абсолютного наибольшего и наименьшего значений не существует. Есть только локальные экстремумы. Локальный максимум: $2/27$ при $x=-1/3$. Локальный минимум: $-2/27$ при $x=1/3$.
2. Если подразумевался конкретный отрезок:
   Необходимо подставить границы этого отрезка в функцию и сравнить их с полученными локальными экстремумами.

Если вы укажете конкретный интервал для $x$, я смогу вычислить точные границы значений для этого промежутка.