Найти площадь, ограниченную линиями y=x^2-3x+3, y=-x^2+x+9

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет $\frac{64}{\mathbf{3}}$ (или примерно $21.33$) квадратных единиц. Шаг 1: Нахождение точек пересечения Для определения пределов интегрирования необходимо найти точки, в которых графики функций $y=x^2-3x+3$ и $y=-x^2+x+9$ пересекаются. Для этого приравняем правые части уравнений: $x^2-3x+3=-x^2+x+9$Перенесем все члены в левую часть для получения квадратного уравнения: $2x^2-4x-6=0$Разделим всё уравнение на $2$: $x^2-2x-3=0$Решим уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Корнями являются: $x_1=-1,x_2=3$Таким образом, пределы интегрирования: $a=-1$ и $b=3$. Шаг 2: Определение подынтегральной функции Чтобы найти площадь, нужно из функции «верхней» линии вычесть функцию «нижней». Выберем контрольную точку внутри интервала $(-1,3)$, например $x=0$: $y_1\left(0\right)=0^2-3\left(0\right)+3=3$ $y_2\left(0\right)={-0}^2+0+9=9$ Поскольку $9>3$, функция $y=-x^2+x+9$ находится сверху. Разность функций: $f\left(x\right)=(-x^2+x+9)-(x^2-3x+3)=-2x^2+4x+6$Шаг 3: Вычисление определенного интеграла Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S={\int }_{-1}^3(-2x^2+4x+6)dx$Найдем первообразную: $F\left(x\right)=-\frac{2}{3}{x}^3+2x^2+6x$ Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S=F\left(3\right)-F\left(-1\right)$Вычислим значение в верхней точке $x=3$: $F\left(3\right)=-\frac{2}{3}\left(27\right)+2\left(9\right)+6\left(3\right)=-18+18+18=18$ Вычислим значение в нижней точке $x=-1$: $F\left(-1\right)=-\frac{2}{3}\left(-1\right)+2\left(1\right)+6\left(-1\right)=\frac{2}{3}+2-6=\frac{2}{3}-4=-\frac{10}{3}$ Итоговая площадь: $S=18-(-\frac{10}{3})=18+\frac{10}{3}=\frac{54+10}{3}=\frac{64}{3}$ Ответ: Площадь области равна $\frac{64}{\mathbf{3}}$ квадратных единиц. Требуется ли вам построение графика данных функций для визуализации области интегрирования?