Определить боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна а и боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды необходимо знать сторону основания $a$ и апофему (высоту боковой грани) $h_b$. 1. Анализ основания и нахождение радиуса В основании лежит правильный треугольник со стороной $a$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис), а $S$ — вершина пирамиды. Радиус описанной около основания окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин треугольника основания: $R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 2. Нахождение высоты пирамиды Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$, где $SO$ — высота пирамиды ( $H$), а $SB$ — боковое ребро. По условию, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Это значит, что $\angle SBO={45}^{\circ }$. Так как треугольник $SOB$ прямоугольный и один из его острых углов равен 45°, он является равнобедренным: $H=SO=OB=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 3. Нахождение апофемы Апофема $L$ — это высота боковой грани, проведенная к стороне основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, где $M$ — середина стороны основания. Отрезок $OM$ является радиусом вписанной окружности $r$: $r=\frac{R}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ По теореме Пифагора для треугольника $SOM$: $L=\sqrt{H^2+r^2}$ Подставим значения $H$ и $r$: $L=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{9}+\frac{3a^2}{36}}=\sqrt{\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{12}}$ Приведем к общему знаменателю: $L=\sqrt{\frac{4a^2+a^2}{12}}=\sqrt{\frac{5a^2}{12}}=\frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{12}}=\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}$ 4. Расчет площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему $L$: $P=3a$ $S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot P\cdot L=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt{15}}{6}$ Упрощаем выражение: $S_{бок}=\frac{3a^2\sqrt{15}}{12}=\frac{a^2\sqrt{15}}{4}$ Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $\frac{a^2\sqrt{15}}{4}$ . Я могу также рассчитать полную поверхность этой пирамиды или объем, если это потребуется.