А) решите уравнение 5cosx+3/5sinx-4=0 б) найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [0:2pi]

Для решения данного уравнения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. А) Решение уравнения Исходное уравнение: $5\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right)-4=0$Перенесем свободный член в правую часть: $3\sin \left(x\right)+5\cos \left(x\right)=4$Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ : $\frac{3}{\sqrt{34}}\sin \left(x\right)+\frac{5}{\sqrt{34}}\cos \left(x\right)=\frac{4}{\sqrt{34}}$ Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что:

• $\cos \left(\alpha \right)=\frac{3}{\sqrt{34}}$ $\sin \left(\alpha \right)=\frac{5}{\sqrt{34}}$ $\tan \left(\alpha \right)=\frac{5}{3}⟹\alpha =\arctan \left(\frac{5}{3}\right)$

Тогда уравнение принимает вид синуса суммы: $\sin (x+\alpha )=\frac{4}{\sqrt{34}}$ Отсюда находим две серии решений:

1. $x+\alpha =\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)+2\pi k$
   $x_1=-\arctan \left(\frac{5}{3}\right)+\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x+\alpha =\pi -\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)+2\pi k$
   $x_2=\pi -\arctan \left(\frac{5}{3}\right)-\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Б) Поиск корней на отрезке $[0;2\pi ]$ Определим примерные значения углов для оценки:

• $\alpha =\arctan (5/3)\approx {59}^{\circ }$ $\arcsin (4/\sqrt{34})\approx \arcsin \left(0.686\right)\approx {43}^{\circ }$

Проверка первой серии $x_1$: При $k=0$: $x\approx {-59}^{\circ }+{43}^{\circ }={-16}^{\circ }$ (не входит в $[0;2\pi ]$) При $k=1$: $x\approx {-16}^{\circ }+{360}^{\circ }={344}^{\circ }$ (входит в $[0;2\pi ]$) Корень: $x=2\pi -\arctan \left(\frac{5}{3}\right)+\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)$ Проверка второй серии $x_2$: При $k=0$: $x\approx {180}^{\circ }-{59}^{\circ }-{43}^{\circ }={78}^{\circ }$ (входит в $[0;2\pi ]$) Корень: $x=\pi -\arctan \left(\frac{5}{3}\right)-\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)$ Ответ: А) $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)-\arctan \left(\frac{5}{3}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ (Или в виде двух серий, указанных выше) Б)

1. $x=\pi -\arctan \left(\frac{5}{3}\right)-\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)$ $x=2\pi -\arctan \left(\frac{5}{3}\right)+\arcsin \left(\frac{4}{\sqrt{34}}\right)$

Хотите, чтобы я проверил эти корни через универсальную тригонометрическую подстановку ( $t=\tan (x/2)$)?