Найдите экстремумы функции y=3x^5-5x^3

Для нахождения экстремумов функции $y=3x^5-5x^3$ необходимо выполнить последовательное исследование функции с помощью производной. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(3x^5-5x^3{)}^{\prime }=15x^4-15x^2$2. Определение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $15x^4-15x^2=0$Вынесем общий множитель за скобки: $15x^2(x^2-1)=0$ $15x^2(x-1)(x+1)=0$Отсюда получаем три критические точки:

• $x_1=0$ $x_2=1$ $x_3=-1$

3. Исследование знаков производной Определим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками: $(-\infty ;-1)$, $(-1;0)$, $(0;1)$ и $(1;+\infty )$.

• Интервал $(-\infty ;-1)$: Возьмем $x=-2$. $y^{\prime }\left(-2\right)=15\left(-2{)}^2\right((-2{)}^2-1)=60\left(3\right)>0$. Функция возрастает. Интервал $(-1;0)$: Возьмем $x=-0.5$. $y^{\prime }\left(-0.5\right)=15\left(-0.5{)}^2\right((-0.5{)}^2-1)=3.75(0.25-1)<0$. Функция убывает. Интервал $(0;1)$: Возьмем $x=0.5$. $y^{\prime }\left(0.5\right)=15\left(0.5{)}^2\right((0.5{)}^2-1)=3.75(0.25-1)<0$. Функция убывает. Интервал $(1;+\infty )$: Возьмем $x=2$. $y^{\prime }\left(2\right)=15\left(2{)}^2\right((2{)}^2-1)=60\left(3\right)>0$. Функция возрастает.

4. Определение точек экстремума и их значений

1. Точка максимума: В точке $x=-1$ производная меняет знак с « $+$» на « $-$».
   Вычислим значение функции:
   $y\left(-1\right)=3(-1{)}^5-5(-1{)}^3=-3+5=2$Точка максимума: $(-1;2)$. Точка минимума: В точке $x=1$ производная меняет знак с « $-$» на « $+$».
   Вычислим значение функции:
   $y\left(1\right)=3(1{)}^5-5(1{)}^3=3-5=-2$Точка минимума: $(1;-2)$. Точка $x=0$: Производная не меняет знак (остается отрицательной). Это не экстремум, а точка перегиба.

Резюме

• Локальный максимум: $y_{max}=2$ при $x=-1$. Локальный минимум: $y_{min}=-2$ при $x=1$.

Хотите, чтобы я рассчитал точки перегиба для этой функции через вторую производную?