Найти точку максимума функции y=sinx-4cosx-4x sin x+5 принадлежащую промежутку (0:pi/2)

Для нахождения точки максимума функции $y=\sin x-4\cos x-4x\sin x+5$ на заданном промежутке $(0;\pi /2)$, необходимо исследовать её производную. ️ Шаг 1: Нахождение производной функции Используем правила дифференцирования суммы и произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $y^{\prime }=(\sin x{)}^{\prime }-(4\cos x{)}^{\prime }-(4x\cdot \sin x{)}^{\prime }+(5{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=\cos x-\left(-4\sin x\right)-(4\sin x+4x\cos x)+0$ $y^{\prime }=\cos x+4\sin x-4\sin x-4x\cos x$ $y^{\prime }=\cos x-4x\cos x$Вынесем общий множитель: $y^{\prime }=\cos x(1-4x)$️ Шаг 2: Нахождение критических точек Приравняем производную к нулю: $\cos x(1-4x)=0$ Это уравнение распадается на два случая:

1. $\cos x=0⟹x=\pi /2+\pi k,k\in \mathbb{Z}$. В интервал $(0;\pi /2)$ данные точки не входят (граница исключена). $1-4x=0⟹4x=1⟹x=0,25$.

️ Шаг 3: Определение характера точки Проверим знак производной $y^{\prime }=\cos x(1-4x)$ в окрестности точки $x=0,25$ внутри промежутка $(0;\pi /2)$:

• При $x\in (0;0,25)$, например $x=0,1$: $\cos (0,1)>0$ и $(1-4\cdot 0,1)>0$, значит $y^{\prime }>0$ (функция возрастает). При $x\in (0,25;\pi /2)$, например $x=1$: $\cos \left(1\right)>0$ (так как $1<\pi /2\approx 1,57$), но $(1-4\cdot 1)<0$, значит $y^{\prime }<0$ (функция убывает).

Так как в точке $x=0,25$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Ответ: Точкой максимума функции является 0,25. Сообщите, если вам требуется вычислить значение функции в этой точке или исследовать её на другом промежутке.