Не решая уравнения 3х²-5х-4=0 вычислите х1³х2+х1х2³

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ сумма и произведение корней ( $x_1$ и $x_2$) определяются следующими соотношениями:

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

1. Определение значений суммы и произведения корней Для уравнения $3x^2-5x-4=0$ коэффициенты равны: $a=3$, $b=-5$, $c=-4$. Подставим их в формулы:

• $x_1+x_2=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}$ $x_1{x}_2=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$

2. Преобразование искомого выражения Нам необходимо найти значение выражения $x_1^3{x}_2+x_1{x}_2^3$. Вынесем общий множитель $x_1{x}_2$ за скобки: $x_1^3{x}_2+x_1{x}_2^3=x_1{x}_2(x_1^2+x_2^2)$Выражение в скобках ( $x_1^2+x_2^2$) можно представить через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы: $(x_1+x_2{)}^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2⟹x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$Таким образом, искомое выражение принимает вид: $x_1{x}_2\cdot \left(\right(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2)$3. Подстановка значений и вычисление Подставим ранее найденные значения $x_1+x_2=\frac{5}{3}$ и $x_1{x}_2=-\frac{4}{3}$ в преобразованную формулу:

1. Вычислим значение в скобках ( $x_1^2+x_2^2$):
   $(\frac{5}{3}{)}^2-2\cdot (-\frac{4}{3})=\frac{25}{9}+\frac{8}{3}=\frac{25}{9}+\frac{24}{9}=\frac{49}{9}$ Умножим полученный результат на $x_1{x}_2$:
   $-\frac{4}{3}\cdot \frac{49}{9}=-\frac{4\cdot 49}{3\cdot 9}=-\frac{196}{27}$ Выделим целую часть:
   $-\frac{196}{27}=-7\frac{7}{27}$

Ответ: $-\frac{196}{27}$ (или $-7\frac{7}{27}$ ). Хотите, чтобы я подготовил для вас аналогичный разбор для выражения с более высокой степенью, например, для $x_1^4+x_2^4$?