Производная ln(x+5)^5

Для нахождения производной функции $f\left(x\right)=\ln (x+5{)}^5$ можно воспользоваться двумя способами: через свойство логарифма (более простой путь) или через правило дифференцирования сложной функции. Способ 1: Использование свойств логарифма Перед дифференцированием упростим выражение, используя свойство $\ln \left(a^n\right)=n\cdot \ln a$: $f\left(x\right)=\ln (x+5{)}^5=5\cdot \ln (x+5)$Теперь находим производную от полученного выражения. Напомним, что $(c\cdot u{)}^{\prime }=c\cdot u^{\prime }$ и $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ :

1. Выносим константу $5$ за знак производной. Находим производную от $\ln (x+5)$. $f^{\prime }\left(x\right)=5\cdot \frac{1}{x+5}\cdot (x+5{)}^{\prime }$ Так как $(x+5{)}^{\prime }=1$, получаем:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{x+5}$

Способ 2: Правило сложной функции Если рассматривать функцию в исходном виде, то она является композицией трех функций: внешней (логарифм), промежуточной (возведение в степень) и внутренней (линейное выражение). Формула: $\left(\ln \right(u){)}^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$

1. Применяем производную логарифма:
   $\frac{d}{dx}\left[\ln \right(x+5{)}^5]=\frac{1}{(x+5{)}^5}\cdot \frac{d}{dx}[(x+5{)}^5]$ Находим производную внутренней части по правилу степени:
   $\frac{d}{dx}\left[\right(x+5{)}^5]=5(x+5{)}^4\cdot (x+5{)}^{\prime }=5(x+5{)}^4$ Подставляем результат обратно в уравнение:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{(x+5{)}^5}\cdot 5(x+5{)}^4$ Сокращаем степени:
   $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5(x+5{)}^4}{(x+5{)}^5}=\frac{5}{x+5}$

Ответ: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{x+5}$ Могу также рассчитать значение этой производной в конкретной точке или найти вторую производную для этой функции.