Значение производной функций f(x)=x*sinx в точке x=п\2 равняется

Для нахождения значения производной функции $f\left(x\right)=x\sin x$ в точке $x=\frac{\pi }{2}$ , воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций. 1. Формула производной произведения Если функция представлена в виде $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$, то её производная вычисляется по формуле: $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$В данном случае:

• $u\left(x\right)=x⟹u^{\prime }\left(x\right)=1$ $v\left(x\right)=\sin x⟹v^{\prime }\left(x\right)=\cos x$

2. Нахождение общей производной Подставим компоненты в формулу: $f^{\prime }\left(x\right)=(x{)}^{\prime }\cdot \sin x+x\cdot (\sin x{)}^{\prime }$ $f^{\prime }\left(x\right)=1\cdot \sin x+x\cdot \cos x$ $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x+x\cos x$3. Вычисление значения в точке $x=\frac{\pi }{2}$ Подставим значение $\frac{\pi }{2}$ в полученное выражение для производной: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{2}\cdot \cos \left(\frac{\pi }{2}\right)$ Из тригонометрических таблиц известно, что:

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

Подставляем эти значения: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+\frac{\pi }{2}\cdot 0$ $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+0=1$ Ответ: Значение производной в точке $x=\frac{\pi }{2}$ равно 1. Могу ли я помочь вам с вычислением производных других функций или разбором подобных задач?