Решить 5 задач 1.слово карета составленное из букв-кубиков,рассыпалось на отдельные кубики.кубики сложили в сточку случайным образом.какова вероятность того,что получилось слово ракета? 2.студент пришел сдавать экзамен,зная половину вопросов из 16 .преподаватель задал ему 3 вопроса.какова вероятность того, что студент ответил на все? 3.в квартире 5 электро лампочек .лампочка перегорает за год с вероятностью 0.75.какова вероятность того,что через год 4 лампочки будут исправны? 4.имеются 4 урны.в первой 1 белый и 1 черный шар,во второй 2 белых и 3 черных шара,в третьей 3 белых и 5 черных шаров,в четвертой 4 белых и 4 черных шара. из наугад выбранной урны вынимают шар.найдите вероятность того, что это белый шар. 5.вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0.002.какова вероятность того,что из 600 пассажиров,имеющих билеты на поезд,опоздают хотя бы два? 6.чему равна вероятность того,что среди 100 прохожих окажется менее 50 женщин,если в городе проживает 54% женщин?

В данной работе представлены решения шести задач по теории вероятностей, охватывающих классическое определение вероятности, комбинаторику, схему Бернулли, формулу полной вероятности и предельные теоремы Лапласа и Пуассона. ️ Шаг 1: Задача о перестановке букв Слово «карета» состоит из 6 букв: {к, а, р, е, т, а}. Поскольку буква «а» повторяется дважды, общее число различных перестановок $N$ вычисляется по формуле перестановок с повторениями: $N=\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360$ Слово «ракета» является одной из таких перестановок. Следовательно, искомая вероятность $P$: $P=\frac{1}{360}\approx 0.0028$ ️ Шаг 2: Задача о студенте на экзамене Общее число вопросов $N=16$. Студент знает $K=8$ вопросов и не знает $16-8=8$ вопросов. Преподаватель выбирает $n=3$ вопроса. Вероятность того, что все три вопроса окажутся из числа известных, вычисляется через сочетания: $P=\frac{C_8^3}{C_{16}^3}=\frac{\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{16\cdot 15\cdot 14}{3\cdot 2\cdot 1}}=\frac{56}{560}=0.1$ ️ Шаг 3: Задача о лампочках (схема Бернулли) Дано: $n=5$ лампочек. Вероятность того, что лампочка перегорит $p=0.75$, следовательно, вероятность того, что она останется исправной $q=1-0.75=0.25$. Нам нужно найти вероятность того, что исправны ровно $k=4$ лампочки: $P_5\left(4\right)=C_5^4\cdot q^4\cdot p^1=5\cdot {0.25}^4\cdot 0.75=5\cdot 0.00390625\cdot 0.75\approx 0.0146$️ Шаг 4: Задача об урнах (формула полной вероятности) Пусть $H_i$ — гипотеза о выборе $i$-й урны. Так как урна выбирается наугад, $P\left(H_1\right)=P\left(H_2\right)=P\left(H_3\right)=P\left(H_4\right)=1/4$. Условные вероятности извлечения белого шара из каждой урны: $P\left(A\right|H_1)=1/2=0.5$ $P\left(A\right|H_2)=2/5=0.4$ $P\left(A\right|H_3)=3/8=0.375$ $P\left(A\right|H_4)=4/8=0.5$ По формуле полной вероятности: $P\left(A\right)=\frac{1}{4}\cdot (0.5+0.4+0.375+0.5)=\frac{1.775}{4}=0.44375$ ️ Шаг 5: Задача об опоздании (распределение Пуассона) Параметры: $n=600$, $p=0.002$. Так как $n$ велико, а $p$ мало, используем формулу Пуассона с $\lambda =n\cdot p=600\cdot 0.002=1.2$. Вероятность того, что опоздают хотя бы двое ( $X\ge 2$): $P(X\ge 2)=1-\left(P\right(0)+P(1\left)\right)$ $P\left(k\right)=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}$ $P\left(0\right)=e^{-1.2}\approx 0.3012,P\left(1\right)=1.2\cdot e^{-1.2}\approx 0.3614$ $P(X\ge 2)=1-(0.3012+0.3614)=1-0.6626=0.3374$️ Шаг 6: Задача о прохожих (теорема Лапласа) Параметры: $n=100$, $p=0.54$, $q=1-0.54=0.46$. Нужно найти $P(0\le X<50)$. Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: $P(k_1\le X\le k_2)\approx \Phi \left(x_2\right)-\Phi \left(x_1\right)$ $x_1=\frac{0-100\cdot 0.54}{\sqrt{100\cdot 0.54\cdot 0.46}}=\frac{-54}{4.984}\approx -10.83$ $x_2=\frac{50-54}{4.984}\approx -0.80$ $\Phi \left(x\right)$ — функция Лапласа. $\Phi \left(-10.83\right)\approx -0.5$, $\Phi \left(-0.80\right)\approx -0.2881$. $P=-0.2881-\left(-0.5\right)=0.2119$ Ответ:

1. Вероятность составить слово «ракета»: 0.0028 (или $1/360$). Вероятность ответа на 3 вопроса: 0.1. Вероятность того, что 4 лампочки исправны: 0.0146. Вероятность извлечения белого шара: 0.44375. Вероятность опоздания хотя бы двух пассажиров: 0.3374. Вероятность того, что женщин менее 50: 0.2119.

Требуется ли вам пошаговое объяснение использования таблиц значений для функции Лапласа или распределения Пуассона в данных задачах?